若干结论和定理(停更)

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gcd(x- 1 , x- 1) = xgcd(a , b) - 1  (x>1,a,b>0)   (HDU 2685)

gcd(fib[ m ] , fib[ n ]) = fib[ gcd(m , n) ]    fib是斐波那契数列

gcd(fib[ m ] , fib[ n ]) = fib[ gcd(m , n) ]

lcm(ka , kb) = k * lcm(a , b)

lcm(a/b , c/d) = lcm(a , c) / gcd(b , d)

a > b , gcd(a , b)==1 , 则gcd(am - bm , an - bn) = agcd(m , n) - bgcd(m , n)

设G = gcd( C1n , C2n ,·········Cnn )  则G的值为:(HDU2582)

  • n为素数:本身
  • n有多个素因子:1
  • n只有一个素因子:该因子

  一个数的所有因子的欧拉函数之和等于这个数本身

最小生成树中的最大边权为所有生成树中最大边权的最小值(所有生成树中最大边权的最小值在MST上)

有向无环图的生成树个数等于入度非零的节点的入度积

威尔逊定理:p为素数  等价于  ( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )   即p | ((p-1)!+1) ,(p - 2)! = 1 (mod p) (HDU 6608)

费马小定理:如果p是一个质数,而整数a不是p的倍数,则有a(p-1)≡1(mod p)

费马-欧拉定理:若n,a为正整数,且 n , a 互质,则:  

霍尔定理:  判断二分图是否完美匹配的充要条件:首先要求|X|==|Y|(左右点数相等),对于任意的X的子集a都有|a|<=|b|,其中b是a能达到的点集的并

霍尔定理推论:对于二分图G={X+Y,E},最大匹配M=|X| - max(|S| - |N(S)|)   (S为X的子集,N(S)为S所能到达的点集的并)(|S|可以为0,所以后者一定不小于0)(HDU6667)

如果p % 4 =3,x^2  = a(mod p) 那么x = ±pow(a, (p+1)/4, p) 

(bp ≡ ap b(mod p)

 

 若a*b-c*d==1,则a和c,a和d,b和c,b和d互质

 [公式]

斐波那契数列求和公式:Sn = 2 * an + an-1 -1

小于n且与n互质的数之和 S = n * phi( n ) / 2

对于质数p

  若 n % p == 0 则  phi( n * p ) = phi( n ) * p

  若 n % p != 0 则  phi( n * p ) = phi( n ) * ( p - 1 )

  phi( pk ) == pk - pk-1 == (p - 1) * pk-1

欧拉降幂 (易证后两个包括第一个,所以只需要判断b和phi(p)的大小关系来套用第二个或者第三个)

若 a = 1 (mod p) , 则 a(p^k) = 1 (mod pk+1)   ( 这里 ^ 是指数 )  

欧拉函数对于第i位的三元组( phi(i) , phi(i + 1) , phi(i + 2) )是唯一的

对于树上的任意一点,距离该点最远的点一定是直径的某一端点

若gcd(x,y,z) == G,lcm(x,y,z) == L,则gcd( x', y',z') == 1,lcm(x',y',z') == L/G ,其中x' = x /G,y' = y /G ,z' = z / G  (HDU4497)

a,b互质的充要条件是存在整数x,y使得ax+by==1

posted @ 2019-08-21 09:35  Zeronera  阅读(333)  评论(0编辑  收藏  举报