泰勒公式和麦克劳林公式

泰勒公式

• 就是一个用多项式函数逼近任意函数的公式。注意，这nb就nb在能逼近任意函数

这个式子长这样：

\[ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_o)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_o)^2+···+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_o)^n (+R_n(x)) \]

其中，\(R_n(x)\)我们把他叫做拉格朗日余项。而且，\(R_n(x)\)表达式如下：

\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)} \]

\[ \xi \epsilon(x,x_0) \]

接下来，我们来看麦克劳林公式：

麦克劳林公式

麦克劳林公式其实就是泰勒公式在\(x_0=0\)的时候的一个特殊情况
其表达式如下：

\[ f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+···+\frac{f^n(0)}{n!}x^n+o(x^n) \]

其中，\(o(x^n)\)被我们叫做皮亚诺余项。其表达式为：

\[ o(x^n)=\frac{f^{(n+1)}}{(n+1)!}x^{n+1} \]

下面是一些需要背诵的常用公式：

当然也有简化版的：