e的定义及其拓展

(一) e的定义

\[ \lim_{x \rightarrow 0} (1+x)^\frac{1}{x} ~~~~~~~或~~~~~~~ \lim_{x \rightarrow 0} (1+\frac{1}{x})^x \]

(二)进一步拓展

首先我们知道：

\[ a^{mn} = (a^m)^n \]

对两边取lim，得：

\[ \lim{a^{mn}} = (\lim{a^m})^n \]

这是因为

\[\begin{aligned} \lim a^{mn} &= \lim (a^m·a^m···a^m) \\ &= lim a^{m} · lim a^{m} ···lim a^{m} \\ &= (\lim a^m)^n \end{aligned}\]

根据这个性质，我们如果将mn写成和x相关的函数，那就是：

\[ \lim{a(x)^{m(x)n(x)}} = [\lim{a(x)^{m(x)}}]^{\lim{n(x)}} \]

我们进行总结，可知：

\[ x \rightarrow 0 时若f(x) \rightarrow 0,g(x)\rightarrow 0 \]

\[ 那么，\lim_{x \rightarrow 0} (1+f(x))^{ \frac {1}{g(x)}}~~=~~(\lim_{x \rightarrow 0} (1+f(x))^{\frac{1}{f(x)}})^{\lim_{x \rightarrow 0} {\frac{f(x)}{g(x)}}} ~~ = ~~ e^c \]

\[ 其中，c = \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{f(x)}{g(x)}} \]