week3|动态规划

按照动态规划法的求解步骤分析作业“算法第三章3（2026）”题目“7-4 最低通行费”：
1.1 根据最优子结构性质，列出递归方程式，说明方程式的定义、边界条件
最优子结构：由于题目要求步数要小于等于N-1，所以合法路径被时间约束强制化简为只能向右或向下。最优子结构：到达（i，j）位置是由上方（i-1，j）和左侧（i，j-1）。因此最优路径的前缀子路径必然也是该前面的最优路径

递归方程：(dp[i][j] = c[i][j] + min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])

方程式定义：到达（i，j）的最少费用为本格费用+从上从左两种情况中的较小值

边界条件：1.i=0,j>=1 上方越界，只能从左边一路右移过来
2.j=0,i>=1 左方越界，只能从上边一路下移过来

1.2 给出填表法中表的维度、填表范围和填表顺序。以及原问题的最优值是哪个表格元素
维度：二维表，N*N

填表范围：整张表 i = 0…N-1、j = 0…N-1，共 N² 个状态，无一空缺；其中第一行、第一列按边界公式直接累加，内部格 i≥1 且 j≥1 用递推式填。

填表顺序：必须保证填 dp[i][j] 时 dp[i-1][j]（正上方）和 dp[i][j-1]（正左方）已经算出。
外层 i = 0 → N-1，内层 j = 0 → N-1，逐行从左到右；

原问题最优值：dp[N-1][N-1]，即表右下角元素。
1.3 分析该算法的时间和空间复杂度
时间：表中 N² 个状态，每个内部格只做 1 次 min 比较和加法（常数次操作）；两条边界也是 O (N)；总操作量 ≈ N²，故 T(N) = O(N²)。
空间：需要 dp[N][N] 共 N² 个状态单元，另需存储费用矩阵 c[N][N]，辅助空间同为 O(N²) 量级。

理解：
动态规划：在常常用在求解最优问题，通过列出递推式子，在进行填表。