10.13

S 组 1 题水平。
由于打完 S 沉浸于 emo，8:30 才发现 ARC 开了，不过 unrated 打着确实欢乐，随便赤！

「KDOI-10」商店砍价

容易发现 \([1,6\times10^5]\) 之间的数才会用第二种操作，枚举这个数之后，删数位的价值就确定了，总价值也就确定了，不过不要忘记不用第二种操作的情况。

「KDOI-10」水杯降温

赛时差分的 \(a_x-\sum\limits_{y\in son_x}a_y\) 导致没写出来。

设 \(b_i=a_i-a_{fa_i}\) ，这样之后 \(1\) 操作为单点加 \(1\)，\(2\) 操作为将根节点 \(-1\),且到根路径所有点的不在路径上的直接儿子 \(+1\) 。
我们的目的变成使所有 \(b_i\) 变为 \(0\)。
如果只有单点加 \(1\)，那么我们只需要满足所有节点的 \(b\le0\) ，也就是说我们要用若干次 \(2\) 操作使得所有节点的 \(b\le0\) 。
首先除了根节点，其他节点的 \(b\) 都是单调不减的，如果一开始某个节点的 \(b>0\) 那么肯定不合法。
否则我们设 \(f_x\) 代表 \(x\) 子树内进行的 \(2\) 操作次数之和，发现有以下限制。
\(f_x-f_y+b_y\le0\Leftrightarrow f_x\le\min\{f_y-b_y\}\)
\(f_x\le\sum\limits_{y\in son_x}f_y\)
\(\sum\limits_{y\in son_x}\max\{0,f_x+b_y\}\le f_x\)
解释一下，第一个限制是因为 \(f_x-f_y\) 为 \(b_y\) 的增加量，显然 \(f_x-f_y+b_y\) 要小于等于 \(0\) 。
第二个限制比较显然，第三个限制是 \(f_x-f_y+b_y\le0\Leftrightarrow f_y\ge f_x+b_y\) ，也就是说 \(f_y\) 至少为 \(f_x+b_y\) ，把至少的作和显然更要 \(\le f_x\)。

「KDOI-10」反回文串

\(A\) 性质答案显然为 \(\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\)，每次找出现次数最大和次大的放一起就好，\(n\) 为奇数最后一个串放 \(3\) 个就能解决。
\(B\) 性质，先考虑无解，有两种情况，第一种全为一个字符，第二种是 \(n\) 为奇数，只有 \(1\) 个别的字符且位于中间位置。
设出现次数最多的字符出现次数为 \(cnt\) ，后面称之为众数字符，那么我们的答案就是 \(n-cnt\)，考虑如何构造。
设 \(l\) 为第一次出现的非众数字符的位置，\(r\) 为最后一次的位置。这时我们先将 \([l+1,n]\) 里的众数字符归给 \(l\) ，\([1,l-1]\) 的归给 \(r\)，对于 \([l+1,r-1]\) 里的非众数字符从 \(l\) 或 \(r\) 里分配一个字符即可。

「KDOI-10」超级演出

对于一个下标 \(i\)，我们可以找出最大的 \(pre_i\) 使得 \(\forall l\le pre_i,r\ge i\) ，\(i\) 都能找到一条到达节点 \(1\) 的合法路径，对于每个点我们都扫描它的出点求 \(\max\) ，把询问离线下来就变成了二维数点。但是每个点都扫描他的出点会被卡成 \(O(nm)\)，所以我们对出度进行根号分治，若 \(out_i\le\sqrt m\) ，那么暴力扫，否则我们把它压入它出点的 \(\text{vector}\) 中，更新出点时更新 \(\text{vector}\) 里的点就行。

arc185_a

由于 \(n<m\) 所以两人只有分别只剩一张牌的时候才可能出现 \(sum\equiv0\pmod m\) ，由于是 \(Alice\) 先放最后一张牌，所以如果 \(Bob\) 能挑出来一张数字为 \(k\) 牌，使得 \(n(n+1)-k\equiv0\pmod m\) ，那么 \(Bob\) 赢，否则 \(Alice\) 赢。

arc185_b

贪心，若 \(a_i>a_{i-1}\) 看能不能在满足单调不减的情况下将 \(a_i\) 减少，往前补。若 \(a_i<a_{i-1}\) ，那么从 \(a_{i+1}\) 往这里搬就行。

arc185_c

枚举 \(A_k\) 现在问题转化为 \(A_i+A_j=X-A_k\) ，这个东西可以卷积 \(O(n\log n)\) 求，判断一下是否有一个下标被用了多次就行。

arc185_e

添加一个数后的答案为 \(sum_i=2sum_{i-1}+\sum\limits_{j=1}^{i}\gcd(a_j,a_i)\times2^{j-1}\) 。
求 \(\sum\limits_{j=1}^{i}\gcd(a_j,a_i)\times2^{j-1}\) 考虑枚举 \(\gcd\)，但是这样会算重，由于我们有 \(\sum\limits_{d|\gcd}\varphi(d)=\gcd\) ，所以筛个 \(\varphi\) 就行了。