随机化

随机化选讲

一.模拟退火

开讲

模拟退火是用来解决能抽象成函数而且要取最值的问题的，以下举两个例子：

给出二维平面的一些点，让你找出一个点，使这个点到所有给出的点的距离和最小/最大值最小/最小值最大等。
给出一个序列，让你自行决定序列的顺序，使得这个序列的权值符合一定限制或取最值。

对于解决这些问题，我们需要使用万能的模拟退火，这里我先讲一下模板

基本思想（看不懂可以直接看省流）

首先，明确一点物理上的芝士，温度（内能）越大，分子运动速度越剧烈，随着温度（内能）降低，分子运动逐渐趋于稳定，而且分子是无规律运动。
根据这一点，我们可以窥探到模拟退火的本质，我们把一个状态（通常二维平面的一个点或序列的一个排列）抽象成 $x$ ，它对应的答案抽象成 $y$ 。
首先，我们需要一个较高的初温 $T$ ，以及一个点模拟分子，然后每次循环随机一个状态模拟分子随机运动（假如是实数范围的话通常与 $T$ 有关，因为温度越高分子运动越剧烈），假如答案更优我们就接受这个状态，否则以一定的概率（ $T$ 越高概率越大，温度越高分子运动越剧烈）接受劣解。感觉说的有点抽象，请看演示。

省流：先抽象成函数，在图像上随机蹦，更优就取，否则温度高接受劣解的概率高，而且蹦的远

关于接受劣解

我们通常用数学上的 $exp$ 函数来求概率，下面给出 $exp$ 函数图像

下面是代码。

if(exp(del/T)*RAND_MAX > rand()) /*接受劣解*/

其中 RAND_MAX 为一个常量，它的值为 32767 ，即 rand() 的最大值。

观察图像我们发现当 $x<0$ 时，$y < 1$ ，假如 $\frac{del}{t} \ge 0$ ，那么对应的 $y\ge1$ ，这时 exp(del/T)*RAND_MAX 必然是大于 rand() 的，所以我们要保证 $ \frac{del}{t}<0 $ 。

del 为当前状态对应的答案和记录的最优答案的差值，有两种情况：

要求最小值，所以 del 为正， del 要取负。
要求最大值，所以 del 为负，不用管。

关于如何退火

模拟退火时我们有三个参数：初始 $T_0$ ，降温系数 $d$ ，终止温度 $T_k$ 。其中 $T_0 $ 是一个比较大的数，$d$ 是一个非常接近 $1$ 但是小于 $1$ 的数，$T_k$ 是一个接近 $0$ 的正数。

首先让温度 $T=T_0$ ，然后按照上述步骤进行一次转移尝试，再让 $T=d\times T$ 。当 $T<T_k$ 时模拟退火过程结束，当前最优解即为最终的最优解。

代码

void sa()
{
    double T = 1111;
    while(T > 1e-9)
    {
        int x = nx+(rand()*2-RAND_MAX)*T,y = ny+(rand()*2-RAND_MAX)*T;//随机s
        int now = W(),del = now-ans;//计算当前答案和与记录最优解的差值
        if (del >= 0) ansx = x,ansy = y,ans = now;
        else if (exp(-del/T)*RAND_MAX > rand()) nx = x,ny = y;//接受劣解
        T *= d;//d为降温系数
    }
}

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退火的两种写法

第一种

将随机到的答案跟最优解比较

void sa()
{
    double T = 1111;
    while(T > 1e-9)
    {
        int x = nx+(rand()*2-RAND_MAX)*T,y = ny+(rand()*2-RAND_MAX)*T;
        int now = W(),del = now-ans;
        if (del >= 0) ansx = x,ansy = y,ans = now;
        else if (exp(-del/T)*RAND_MAX > rand()) nx = x,ny = y;
        T *= d;
    }
}

第二种

跟目前接受的解比较，这个更不容易被卡在一个局部最优解，但是也容易跑偏

void sa()
{
    double T = 1111;
    while(T > 1e-9)
    {
        int x = nx+(rand()*2-RAND_MAX)*T,y = ny+(rand()*2-RAND_MAX)*T;
        int now = W(),del = now-nans;
        else if (del < 0 || exp(-del/T)*RAND_MAX > rand()) nx = x,ny = y;
        ans = min(ans,now);
        T *= d;
    }
}

结论

主要是个人经验，借鉴一下就好。

具体情况还是要具体分析。

关于退火能解决的问题一般具备的特点
- $n$ 通常在几十左右
- 能被抽象为较为平滑函数
- 求极值问题或能判断优劣解的可行解问题（这个题就无法判断优劣解)
什么时候用 shuffle
- 跟序列关系有关，整数范围。
- 可行解，因为最优解跑 shuffle 不是找死？
- $n$ 较大，这样依赖退火生成的排列就会比较集中，不够随机。或者你可以更改退火里随机状态的方式（其实就是变得更随机）
- 无法判断优劣解的题
关于我的参数
- 实数范围的时候终止温度 $T_k$ 是 1e-11 ，整数范围 1e-7
- 初温 $T$ 几千几万都无所谓，能把所有的状态都覆盖掉就行。假如 del 很大的话为了方便接受劣解可以多除一个数
- 降温系数实数范围 0.996-0.998 差不多了，有的题比较极端，要 0.999，自行调整。整数范围 0.99-0.998
如何调参

这里只说一下各个参数所造成的影响，我觉得理解了这个就会自己调参了
- 初温 $T$ ，活动范围的大小，接受劣解的概率，退火的次数
- 末温 $T_k$ ，与正确答案的接近程度，退火的次数
- 降温系数 $down$ ，退火的次数，接受劣解的概率

关于不连续函数

容易发现这里你随机序列的话很容易导致无法把灯全部关掉，这样的问题无法用退火解决。

posted @ 2024-07-15 19:27 ZepX_D 阅读(170) 评论(3) 收藏举报

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