题解 P4609 【[FJOI2016]建筑师】

一道有趣的组合数学题

这道题其实挺水的至少没有黑题难度（滑稽 只要学过点组合数学就没太大问题。不过思路还是比较巧妙，值得一做。

讲思路吧。

题意如图：（建筑编号从左到右依次排列）

解释一下,画红框的是表示这个红框内的建筑都由一个最高建筑“代表”。比如从左看,\(1\)号建筑挡住了\(2,3\)号建筑，直到\(4\)号建筑比\(1\)号高,\(4\)号建筑再成为下一群建筑的代表。

那么给定从最左边看能看到\(A\)个建筑，从最右边看能看到\(B\)个建筑，如何求方案数呢？

接下来就是本题的核心了。

我们会发现，当一群数量为\(k\)的建筑的“代表”确定后，除去代表的剩下\(k-1\) 个建筑就可以随意排列，那么就有\((k-1)!\) 种方案，那么就等价于这\(k\)个建筑的圆排列。除去整个序列中最高的那个建筑，左边看有\(A-1\) 群建筑，右边看有\(B-1\) 群建筑。总共有\(A+B-2\) 群建筑，那么也就有\(A+B-2\) 个圆排列。
然后。。。有没有想到第一类斯特林数！在这题中就是\(n\) 个人，\(A+B-2\) 张桌子。然后你再想，在总共\(A+B-2\) 群建筑中选\(A-1\) 群放到最高建筑的左边，不就有\(C_{A+B-2}^{A-1}\) 种方案吗！所以总方案是\(C_{A+B-2}^{A-1}*S_{n-1}^{A+B-2}\)

优秀的\(O(1)\)询问。

\(C\)和\(S\)预处理一下就珂以辣！

你问我什么是斯特林数？出门转百度or组合数学其实是我懒得写了

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上代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
using namespace std;
int T,n,a,b;
long long s[50002][202],c[102][202];//要开long long别问我怎么知道的
inline int rd(){//辣鸡快读，大佬勿喷
	int ans=0,flag=1;
	char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')flag=-1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')ans=ans*10+ch-48,ch=getchar();
	return ans*flag;
}
int main(){
	T=rd();
	for(register int i=0;i<=200;i++){
		c[i][0]=1;
	}
	for(register int i=1;i<=200;i++){
		for(register int j=1;j<=i;j++){
			c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;//记得取模
		}
	}
	memset(s,0,sizeof(s));
	s[0][0]=1;
	for(register int i=1;i<=5e4;i++){
		for(register int j=1;j<=200;j++){
			s[i][j]=(s[i-1][j-1]%mod+s[i-1][j]*(i-1)%mod)%mod;
		}
	}
	while(T--){
		n=rd(),a=rd(),b=rd();
		printf("%lld\n",(c[a+b-2][a-1]*s[n-1][a+b-2])%mod);
	}
	return 0;
}

切黑题，啦啦啦