[BZOJ 2005][Noi2010]能量采集（莫比乌斯反演）

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，

栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列

有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，

表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了

一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器

连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于

连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植

物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20

棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能

量损失。

Solution

每颗植物的能量损失就是gcd(x,y)*2-1

比较神奇的是每个gcd的值可以分开考虑

然后还是Problem b那个套路

f[i]表示1<=x<=n 1<=y<=m gcd(x,y)=i数对(x,y)的个数

F[i]=Σ_i|d f(d)=floor(n/i)*floor(m/i) 即1<=x<=n 1<=y<=m gcd(x,y)是i的倍数的数对(x,y)的个数

反演得 f[i]=Σ_i|d F(d)*μ(d/i)=Σ_i|d floor(n/d)*floor(m/d)*μ(d/i)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#define Min(a,b) (a<b?a:b)
#define MAXN 100000
typedef long long LL;
using namespace std;
int n,m,mu[MAXN],sum[MAXN],pri[MAXN],cnt=0;
bool jud[MAXN];
void getmu()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
    {
        if(!jud[i])pri[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=MAXN;j++)
        {
            jud[pri[j]*i]=1;
            if(i%pri[j]==0){mu[pri[j]*i]=0;break;}
            mu[pri[j]*i]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=MAXN;i++)
    sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}
LL clac(int x,int y,int k)
{
    LL res=0;int last;
    x/=k,y/=k;
    for(int i=1;i<=Min(x,y);i=last+1)
    {
        last=Min(x/(x/i),y/(y/i));
        res+=(LL)(sum[last]-sum[i-1])*(x/i)*(y/i);
    }
    return res;
}
int main()
{
    getmu();
    scanf("%d%d",&n,&m);
    LL ans=0;
    for(int i=1;i<=Min(n,m);i++)
    ans+=(2*i-1)*clac(n,m,i);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}