二项式系数

帕斯卡公式

\[\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1} \]

分两种情况讨论：

1. 第 \(n\) 个元素不选：相当于在前 \(n-1\) 个元素中选 \(m\) 个。
2. 第 \(n\) 个元素选：相当于在前 \(n-1\) 个元素中选 \(m-1\) 个。

组合恒等式

吸收恒等式

\[\binom{n}{m}=\frac{n}{m}\binom{n-1}{m-1} \]

证

\[\begin{aligned} \frac{n}{m}\binom{n-1}{m-1}&=\frac{n}{m}\times\frac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!}\\ &=\frac{n!}{m!(n-m)!}\\ &=\binom{n}{m}\end{aligned} \]

证毕

同理可得：

\[\begin{aligned} \binom{n}{m}&=\frac{n}{n-m}\times\binom{n-1}{m}\\ \binom{n}{m}&=\frac{n-m+1}{m}\times\binom{n}{m-1}\end{aligned} \]

对称恒等式

\[\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m} \]

组合意义：从 \(n\) 中选 \(m\) 个，相当于从 \(n\) 中不选 \(m\) 个。

上指标求和 \(\text{i}\)

\[\sum_{i=0}^{n}\binom{m+i}{i}=\binom{n+m+1}{m+1} \]

证

\[\begin{aligned} \sum_{i=0}^{n}\binom{m+i}{m}&=\binom{m}{m}+\binom{m+1}{m}+\binom{m+2}{m}+\cdots+\binom{m+n}{m}\\ &=\binom{m+1}{m+1}+\binom{m+1}{m}+\binom{m+2}{m}+\cdots+\binom{m+n}{m}\\ &=\binom{m+2}{m+1}+\binom{m+2}{m}+\cdots+\binom{m+n}{m}\\ &=\binom{n+m+1}{m+1}\end{aligned} \]

证毕

上指标求和 \(\text{ii}\)

\[\sum_{i=k}^n\binom{i}{k}=\binom{n+1}{k+1} \]

组合意义：在 \(n+1\) 个选择 \(k+1\) 个，若最后一个被选的元素是 \(i\)，那么前面的元素的选择方案数为 \(\binom{i-1}{k}\) 。

证

设 \(j=i+k\) ，并根据上指标求和 \(\text{i}\)，有：

\[\begin{aligned} \sum_{j=k}^n\binom{j}{k}&=\sum_{i=0}^{n-k}\binom{i+k}{k}=\binom{n+1}{k+1}\end{aligned} \]

证毕

对角线求和

\[\sum_{i=0}^m\binom{n+i}{i}=\sum_{i=0}^m\binom{n+i}{n}=\binom{n+m+1}{n+1} \]

运用 对称恒等式 与 上指标求和 \(\text{i}\) 不难证明。

组合数前缀和

设 \(S_{n,m}=\sum\limits_{i=1}^m\binom{n}{i}\) ，若 \(n,m\in\mathbb{N}_+\)，则有：

\[\begin{aligned} S_{n,m}&=S_{n,m-1}+\binom{n}{m}=S_{n,m+1}-\binom{n}{m+1}\\ S_{n,m}&=2S_{n-1,m}-\binom{n-1}{m}\\ S_{n,m}&=\frac{S_{n+1,m}+\binom{n}{m}}{2}\end{aligned} \]

证

1. 对于 \((1)\) 式 ，根据定义显然正确。

2. 对于 \((2)\) 式：

   \[\begin{aligned} S_{n,m}=\sum_{i=0}^m\binom{n}{i}&=1+\sum_{i=1}^m\binom{n}{i}\\ &=1+\sum_{i=1}^m\binom{n-1}{i}+\sum_{i=1}^m\binom{n-1}{i-1}\\ &=\sum_{i=0}^m\binom{n-1}{i}+\sum_{i=0}^{m-1}\binom{n-1}{i}\\ &=2\sum_{i=0}^m\binom{n-1}{i}-\binom{n-1}{m}\\ &=2S_{n-1,m}-\binom{n-1}{m} \end{aligned} \]

3. 对于 \((3)\) 式，由 \((2)\) 式知： \(S_{n+1,m}=2S_{n,m}-\binom{n}{m}\) ，代入 \((3)\) 式即可成立。

证毕

范德蒙德卷积

\[\sum_{i=0}^k\binom{n}{i}\binom{m}{k-i}=\binom{n+m}{k} \]

证

考虑利用组合意义证明，我们在大小为 \(n+m\) 的集合 \(S\) 中取 \(k\) 个数，可将 \(S\) 分为两个集合 \(S_1\) 与 \(S_2\) ，大小分别为 \(n\) 和 \(m\) ，从 \(S_1\) 中取 \(i\) 个数，从 \(S_2\) 中取 \(k - i\) 个数，于是便有了 \(i\) 的遍历。
因为我们对 \(i\) 进行了遍历，所以不需要再考虑不同的拆法，因为不同的拆法之间选的数字仍是一样的。

证毕

应用

从 \(A\) 集合中选 \(x\) 个，从 \(B\) 集合中选 \(y\) 个。

1. 当 \(x+y\) 为定值时，可套用上公式。
2. 当 \(x-y\) 为定值时，运用对称恒等式转化为在 \(B\) 集合中选 \(m-y\) 个，那么 \(x+m-y\) 将为定值，即可套用上式。

格路计数

从 \((0,0)\) 出发，只能向下或向右走，走到 \((n,m)\) 的方案数为：

\[\binom{n+m}{m} \]

组合意义：一共走 \(n+m\) 步， \(n\) 步向下， \(m\) 步向右，从 \(n+m\) 步中选择 \(n\) 步向下。

二项式定理

\[(a+b)^n=\binom{n}{0}a^0b^n+\binom{n}{1}a^1b^{n-1}+\cdots+\binom{n}{n}a^nb^0=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^ib^{n-i} \]

证

组合意义：将原式展开，对于单项 \(a^ib^{n-i}\) ，在多项式中出现了 \(\binom{n}{i}\) 次。

代数推导：考虑使用数学归纳法，\(n=1\) 时显然成立。再考虑 \(n>1\) 的情况，假设 \((a+b)^{n-1}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}a^ib^{n-1-i}\) 成立，则有：

\[\begin{aligned} (a+b)^n&=(a+b)(a+b)^{n-1}\\ &=(a+b)\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}a^ib^{n-1-i}\\ &=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}a^{i+1}b^{n-1-i}+\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}a^ib{n-i}\\ &=\sum_{i=1}^n\binom{n-1}{i-1}a^ib^{n-i}+\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}a^ib^{{n-i}}\\ &=\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n-1}{i-1}a^ib^{n-i}+a^n+\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n-1}{i}a^ib{n-i}> +b^n\\ &=\sum_{i=1}^{n-1}\left(\binom{n-1}{i-1}+\binom{n-1}{i}\right)a^ib^{n-i}a^n+b^n\\ &=\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n}{i}a^ib^{n-i}+a^n+b^n\\ &=\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n}{i}a^ib^{n-i}+\binom{n}{n}a^n+\binom{n}{0}b^n\\ &=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^ib^{n-i} \end{aligned} \]

证毕