动态规划（一）

     今天放两道动态规划的题，本人心得是：认真寻找规律

第一题

多重部分和问题

      有n种不同大小数字a_i，每种个m_i个。判断是否可以从这些数字之中选出若干使它们的和恰好为k。(1≤n≤100，1≤a_i,mi≤100000，1≤k≤100000)

样例输入

   3                           n

   3  5  8                   a₁   a₂  ...

   3  2  2                   m₁  m₂ ...

   17                         k

样例输出

      YES

方法一：

     dp[i,j](前i种数字是否能加成j)

     大家会立即推出此式子：

     dp[i,j]=(0≤k≤m_i且k*a_i≤j时存在使dp[i,j-k*a_i]为true的k)

     当dp[n,k]=true时就是YES。

     那么，时间复杂度就有待考虑，每一个数都要试一次，最多会有100*100000个数，再加n层循环，则

     O(n∑_im_i)=O(100*100*100000)=O(10⁹)

    时间完爆，满分是不可能的

方法二

    认为dp[i,j]指用前i种数加和得到j时第i种数最多能剩下几个，如果加不到则为-1，

①.若前i-1个数可加到j，则直接留下m_i个数；

    ②.若无法加到或前i-1个数不可加到j-a_i,则-1；

    ③.否则，...

    ∴             m_i                (dp[i,j]≥0)

        dp[i,j]=-1                 (j<a_i或者dp[i+1,j-a_i]≤0)

                   dp[i+1,j-a_i]   (其它) 

 程序如下：

var
  dp,a,m:array[0..100000]of longint;
  n,i,j,k:longint;
begin
  read(n);
  for i:=1 to n do
    read(a[i]);
  for i:=1 to n do
    read(m[i]);
  read(k);
  for i:=1 to k do dp[i]:=0;
  for i:=1 to n do
    for j:=0 to k do
      if dp[j]>=0 then dp[j]:=m[i]
      else if (j<a[i])or(dp[j-a[i]]<=0) then dp[j]:=-1
      else dp[j]:=dp[j-a[i]]-1;
  if dp[k]>=0 then write('YES')
  else write('NO');
end.

C++略，

第二题(poj7624)

山区建小学

总时间限制: 

1000ms

 

内存限制: 

65536kB

描述

政府在某山区修建了一条道路，恰好穿越总共m个村庄的每个村庄一次，没有回路或交叉，任意两个村庄只能通过这条路来往。已知任意两个相邻的村庄之间的距离为di（为正整数），其中，0 < i < m。为了提高山区的文化素质，政府又决定从m个村中选择n个村建小学（设 0 < n < = m < 500 ）。请根据给定的m、n以及所有相邻村庄的距离，选择在哪些村庄建小学，才使得所有村到最近小学的距离总和最小，计算最小值。

输入

第1行为m和n，其间用空格间隔
第2行为(m-1) 个整数，依次表示从一端到另一端的相邻村庄的距离，整数之间以空格间隔。

例如
10 3
2 4 6 5 2 4 3 1 3
表示在10个村庄建3所学校。第1个村庄与第2个村庄距离为2，第2个村庄与第3个村庄距离为4，第3个村庄与第4个村庄距离为6，...，第9个村庄到第10个村庄的距离为3。

输出

各村庄到最近学校的距离之和的最小值。

样例输入

10 2
3 1 3 1 1 1 1 1 3

样例输出

18

 刚开始以为这题很弱，可是画了画，就------；

先从简单的开始

①.当我要在第i个村庄到第j个村庄建1个学校，最小值怎么求？

大家应该知道，把学校放在村庄之中，总共走的路才最少，小学初中数学奥赛都有讲到，

那么，最小值怎么求？见下图：

1.五个点：.____.____.____.____. ,则最小路程：

                ____ ____ ____ ____ 

                        ____ ____  

发现  ____ ____ ____                   ____ ____ ____                       ____ ____ 

                ____ （靠左的）     +              ____ （靠右的）  —      （第一层中间两个线段） 

____ 为两点间距离，每个距离是不一样的

所以可知p[i,j]=p[i,j-1]+p[i+1,j]-p[i+1,j-1]（j-i为偶数时）

2.p[i,j]=p[i,j-1]+p[i+1,j]-p[i+1,j-1]+a[(j+i) div 2]（j-i为奇数时）

   红色部分为中间的线段，如果不仔细，极其难发现！！！请自行画图探究；

1个学校处理完，再处理k个：

dp[i(前i个山村),k]=min(dp[t(k-1≤t≤i-1),k-1]+p[t+1,i]

相信大家刚处理的时候会出现错误，或O(500⁵)或O(500⁴)的时间效率，此时要学会减少循环次数，让

dp变成二维。此题用到两次dp，一次预处理，一次为主要部分，有难度，让我耗费1个小时多！

那么，学会降层,程序如下：

var
  a:array[1..500]of longint;
  dp,p:array[1..500,1..500]of longint;
  n,i,j,k,m:longint;
function min(a,b:longint):longint;
begin
  if a<b then exit(a) else exit(b);
end;
begin
  read(n,m);
  for i:=1 to n-1 do
    read(a[i]);
  for i:=0 to n do
    for j:=1 to n do
      if j+i<=n then
        begin
          if i=0 then p[j,j]:=0
          else if i=1 then p[j,j+i]:=a[j]
          else if i mod 2=0 then p[j,j+i]:=p[j,j+i-1]+p[j+1,j+i]-p[j+1,j+i-1]
          else p[j,j+i]:=p[j,j+i-1]+p[j+1,j+i]-p[j+1,j+i-1]+a[(j+j+i) div 2];
        end;
  //一种非常好的处理方法，在循环变量下做文章，使预处理得以成功进行
  for i:=1 to n do
    for k:=1 to min(i,m) do
      if k=i then dp[i,k]:=0
      else if k=1 then dp[i,k]:=p[1,i]
      else
        begin
          dp[i,k]:=maxlongint;
          for j:=i-1 downto k-1 do
            dp[i,k]:=min(dp[i,k],dp[j,k-1]+p[j+1,i]);
        end;
  writeln(dp[n,m]);
end.

#include<iostream>
using namespace std;
int min(int a,int b)
{
    if (a<b) return a; else return b;
 } 
int a[501],dp[501][501],p[501][501],n,i,j,k,m;
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for (i=1;i<=n-1;i++) cin>>a[i];
    for (i=0;i<=n;i++)
      for (j=1;j<=n;j++)
        {
            if (j+1<=n)
              {
                  if (i==0) p[i][j]=0;
                  else if (i==1) p[j][j+i]=a[j];
                  else if (i%2==0) p[j][j+i]=p[j][j+i-1]+p[j+1][j+i]-p[j+1][j+i-1];
                else p[j][j+i]=p[j][j+i-1]+p[j+1][j+i]-p[j+1][j+i-1]+a[(j+j+i)/2];
              }
        }
    for (i=1;i<=n;i++)
      for (k=1;k<=min(i,m);k++)
        if (k==i) dp[i][k]=0;
        else if (k==1) dp[i][k]=p[1][i];
        else
          {
            dp[i][k]=100000000;
            for (j=i-1;j>=k-1;j--)
              dp[i][k]=min(dp[i][k],dp[j][k-1]+p[j+1][i]);    
          }
    cout<<dp[n][m];
}

作为好人，我把pascal，C++都上传，但别盲目复制，仔细体会，大家放心，两个程序都已AC。