bzoj3505: [Cqoi2014]数三角形 [数论][gcd]

Description

给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。

注意三角形的三点不能共线。

Input

输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。

Output

输出一个正整数，为所求三角形数量。

Sample Input

2 2

Sample Output

76

数据范围
1<=m,n<=1000

---

太伤心了。。不能abs(int)???

首先格点个数是(n+1)*(m+1)的，所以我们先把n和m都+1。 先选出三个不同点，方案数是C(n*m,3)。 接下来扣掉三点共线的情况。 枚举两个点，计算以它们为端点的线段上的整点个数。 不难发现是gcd(x1-x2,y1-y2)-1。 线段是可以平移的，那么我们把其中一个点固定在(0,0)，只枚举另一个点的坐标，然后乘上方案数就行了。 时间复杂度O(nm)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
#define dbg(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl

typedef long long ll;

const int maxn=1005;

int n,m,f[maxn][maxn],ens;
ll ans;

ll C(int a,int b){
    ll res=1;
    for(int i=a;i>a-b;i--)  res*=i;
    for(int i=b;i>1;i--)  res/=i;
    return res;
}

int gcd(int a,int b){
    if(f[a][b])  return f[a][b];
    return b?(f[a][b]=gcd(b,a%b)):a;
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    n++;  m++;
    ans=C(n*m,3);
    for(int i=-n+1;i<=n-1;i++)
        for(int j=0;j<=m-1;j++){
            //避免重复计算 
            if(!j&&i<=0)  continue;
            ens=gcd(i<0?-i:i,j)-1;
//            dbg(abs(i));  dbg(j);  dbg(ens);
            ans-=1ll*ens*(n-(i<0?-i:i))*(m-j);
        }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}