【学习笔记】多项式

OI wiki 上多项式相关部分太晦涩了，我看不懂/ng。但是多项式其实是很有意思的一个部分（？

对于求和式 \(\sum a_nx^n\) 如果是有限项相加，则称为多项式，记作 \(f(x)=\sum_{n}^m a_nx^n\)。

多项式中的 \(x^n\) 只是一个形式符号，作为系数对应位置的标识符。这是非常重要的一点。

普通生成函数（OGF）

序列 \(a\) 的普通生成函数定义为形式幂级数 \(F(x)=\sum a_nx^n\)。其中 \(a\) 既可以是有穷序列也可以是无穷序列。

式子 \(F(x)\sum a_nx^n\) 也叫做该生成函数的展开形式。如果序列 \(a\) 有通项公式，那么它的普通生成函数的系数就是通项公式。

封闭形式

在运用生成函数的过程中，我们不会一直使用形式幂级数的形式，而会适时地转化为封闭形式以更好地化简。

例如最简单的生成函数 \(F(x)=1+x+x^2+\cdots\)，可以发现有 \(xF(x)+1=F(x)\)，于是可以得出 \(F(x)=\dfrac{1}{1-x}\)。

这看起来非常的没有道理，然而由于这里的 \(x\) 仅仅作为一个符号而不是一个数，这个式子是成立的。\(\dfrac{1}{1-x}\) 即为 \(F(x)\) 的封闭形式，一般情况下可以认为这两者等价。

当然并不是所有的生成函数都能够得到一个封闭形式，所以这里给出部分常见的生成函数的封闭形式：

• \(F=1+x^2+x^4+\cdots\)。将 \(x^2\) 看做 \(x\) 可以得到 \(F=\dfrac{1}{1-x^2}\)。

• \(F=1+2x+3x^2+\cdots\)。容易得到答案为 \(\dfrac{1}{(1-x)^2}\)。

观察系数可以发现一个重要结论：对于生成函数 \(F\) 的系数序列，其求前缀和后的系数序列对应的生成函数 \(F'\) 的封闭形式等于 \(F\) 的封闭形式乘上 \(\dfrac{1}{1-x}\)。类比多项式乘法应该也能够得到相同的结论。

• \(F=\sum\binom{n+m}{m} x^n\)。使用归纳法可以证明 \(F=\dfrac{1}{(1-x)^{m+1}}\)。

斐波那契数列的生成函数

容易得到斐波那契数列的封闭形式为 \(F(x)=\dfrac{x}{1-x-x^2}\)。接下来我们想通过这个求出斐波那契数列的展开形式。

将 \(x+x^2\) 看作一个整体可以得到

\[\begin{aligned} F(x)&=x\sum_n (x+x^2)^n \\ &=x\sum_n\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}x^{n-i}(x^2)^i \\ &=\sum_n\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}x^{n+i+1} \\ &=\sum_{k=1}\sum_{i=0}\binom{k-i-1}{i}x^k \\ &=\sum_{k=1}\sum_{i=0}^{\lfloor\frac{k-1}{2}\rfloor}\binom{k-i-1}{i}x^k \end{aligned}\]

所以得到斐波那契数列的展开形式 \(F(x)=\sum_{i=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor}\binom{n-i-1}{i}x^n\)。当然注意到这并不是我们熟悉的斐波那契数列通项公式，实际上这个式子也并不能帮助我们快速求出斐波那契数列某一项的值，于是我们还有另一种展开形式：

考虑求解一个待定系数的方程 \(\dfrac{A}{1-ax}+\dfrac{B}{1-bx}=\dfrac{x}{1-x-x^2}\)。

通分后待定系数法可以得到：

\[\begin{cases} A=\dfrac{1}{\sqrt5} \\ B=-\dfrac{1}{\sqrt5} \\ a=\dfrac{1+\sqrt5}{2} \\ b=\dfrac{1-\sqrt5}{2} \end{cases}\]

代入原式并根据等比数列展开式可以得到斐波那契数列的展开式 \(F(x)=\sum \dfrac{1}{\sqrt5}\biggl(\biggl(\dfrac{1+\sqrt5}{2}\biggr)^2-\biggl(\dfrac{1-\sqrt5}{2}\biggr)^2\biggr)x^n\)。

集合幂级数

咕咕咕。