分治策略--笔记

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1、分治策略的基本思想
一个规模为n的问题可以分解为多个规模较小的子问题，每个子问题相互独立，并与原问题相同，最后将子问题的解合并可得原问题的解。

2、分治法的基本步骤

①分解  ②递归求解所有子问题  ③合并

分治思想的应用

1、大整数乘法 

问题描述：在实际应用中，经常要使用两个很大的整数相乘（如密码技术中的RSA算法），而目前的机器硬件最多只能直接运算两个128位（二进制）的乘法，所以需要软件来运算。

传统算法：

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时间复杂度​

简单分治算法：

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x

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步骤：

1.切分产生A、B、C、D；

2.计算四个，n/2位乘法AC、AD、BC、BD （规模缩小的子问题）；

3.计算三个加法、两次移位：AC左移n位，(AD+BC)左移n/2位

4.计算XY

复杂度分析：

​

​

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此时时间复杂度可以表示为

•建立递归方程

T(n)= O(1)                if n=1

T(n)=3T(n/2)+O(n)   if n>1

•使用Master定理

T(n)=O(nlog3)=O(n1.59)

由此可见，算法的性能得到了提高。

2、Strassen矩阵乘法

 

问题描述：

  n×n矩阵A和B的乘积矩阵C中的元素C[i,j]定义为:

传统算法：

用传统方法计算时，算法的时间复杂度为O(n3)，原因：

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分治法：

将矩阵A，B和C中每一矩阵都分块成4个大小相等的子矩阵（每个子矩阵都是n/2*n/2的方阵）。由此可将方程C=AB重写为：

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由此可得：​

复杂度分析：

​ 

根据Master定理可得   T(n)=O(n3)  -> 分块并没有从本质上改进算法复杂度

（这里不太明白为什么子问题的个数为8？？？）

改进：

           

 

 改善分治算法性能的途径

 通过这两个例子，可以看到，可以通过减少子问题的个数，从而减小a，最终使得分治算法的时间复杂度的阶减小

 

 

3、合并排序

基本思想：

将待排序元素集合分为大小相同的两个子集和，分别对两个子集合进行排序，最终将排好序的子集和合并成要求的排好序的集合。过程如下：

 

 

 

合并排序之分治算法(递归形式)

分解：

 

合并：