算法第3章作业

1.1 根据最优子结构性质，列出递归方程式，说明方程式的定义、边界条件

状态定义：dp [i][j] 表示走到格子 (i,j) 时的最小总费用；a [i][j] 表示格子 (i,j) 本身的费用。
到达 (i,j) 合法来源只有两个：上方 (i-1,j)，从上往下走；左方 (i,j-1)，从左往右走。
递归方程：dp [i][j] = a [i][j] + min (dp [i-1][j], dp [i][j-1])
边界条件：

1. 起点：dp [1][1] = a [1][1]
2. 第一行（i=1,j>1）：不能从上面来，只能从左边依次向右走，dp [1][j] = dp [1][j-1] + a [1][j]
3. 第一列（j=1,i>1）：不能从左边来，只能从上往下走，dp [i][1] = dp [i-1][1] + a [i][1]

最优子结构说明：到达 (i,j) 的最优路径，它到达前驱点 (i-1,j) 或者 (i,j-1) 的那段路径一定也是最优路径。如果前驱存在费用更低的走法，替换之后整体费用会更低，和最优的前提矛盾。因此原问题最优解包含子问题最优解，满足最优子结构。

1.2 给出填表法中表的维度、填表范围和填表顺序。以及原问题的最优值是哪个表格元素

表维度：二维 dp [N][N]，代码一般开 dp [N+1][N+1]，下标从 1 开始使用。
填表范围：i 从 1 到 N，j 从 1 到 N。
填表顺序：从上到下遍历每一行，同一行内部从左向右填写。理由：计算 dp [i][j] 依赖上方 dp [i-1][j]（上一行，已经计算完成）和左边 dp [i][j-1]（同行左侧，已经计算完成）。
原问题最优值：dp [N][N]

1.3 分析该算法的时间和空间复杂度

时间复杂度：O (N²)。网格一共 N² 个状态，每个状态仅做一次取最小值和加法运算，属于常数操作。
空间复杂度：O (N²)。需要开辟二维 dp 数组保存所有状态；也可以原地复用原费用数组，把额外空间优化到 O (1)，基础分析写 O (N²) 即可。

我对动态规划算法的理解和体会

动态规划的核心是抓住最优子结构与重叠子问题两个性质，把一个规模较大的问题拆解成一系列结构相同、规模更小的子问题，并且保存子问题的计算结果，避免重复计算，以此提升效率。
在这道最低通行费题目中，题目给出的时间限制看似是移动约束，本质上筛掉了所有绕路方案，让可行路径只剩下向右和向下两种走法，从而满足最优子结构：到达每个格子的最小费用，只依赖上方和左方格子的最优解。
设计 DP 时，第一步最重要的是合理定义状态；状态定义好了，递归方程、边界条件才能够顺利推导。同时填表顺序必须遵守依赖关系，保证计算当前状态时，它所需要的子问题已经求解完成。
对比贪心算法，贪心每次只选择局部最优，不一定得到全局最优；动态规划会遍历所有合法子问题组合，一定可以求出全局最优解，代价是需要额外空间存储状态。和分治相比，分治的子问题相互独立，而动态规划大量子问题会重复访问，缓存结果才有意义。很多 DP 题目还可以通过滚动数组等方式压缩空间，进一步优化内存开销。