hdu acmsteps 2.2.1 Fibonacci

Fibonacci

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Problem Description

2007年到来了。经过2006年一年的修炼，数学神童zouyu终于把0到100000000的Fibonacci数列
(f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2))的值全部给背了下来。
接下来，CodeStar决定要考考他，于是每问他一个数字，他就要把答案说出来，不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位就可以了，可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验zouyu说的是否正确。

Input

输入若干数字n(0 <= n <= 100000000)，每个数字一行。读到文件尾。

Output

输出f[n]的前4个数字（若不足4个数字，就全部输出）。

Sample Input

0
1
2
3
4
5
35
36
37
38
39
40

Sample Output

0
1
1
2
3
5
9227
1493
2415
3908
6324
1023

解答：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int fib[21]={0,1};
int main(){
    double a=-0.5*log10(5.0);
    double b=log10(0.5+sqrt(5.0)/2);
    double c=(1-sqrt(5.0))/(1+sqrt(5.0));
    for(int i=2;i<=20;i++){
        fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
    }
    for(int n;cin>>n;){
        if(n<=20){
            int ans=fib[n];
            while(ans>=10000) ans/=10;
            cout<<ans<<"\n";
        }
        else{
            double ans=a+n*b+log10(1+pow(c,n));
            ans-=(int)ans;
            ans=pow(10.0,ans);
            while(ans<1000) ans*=10;
            cout<<(int)ans<<"\n";
        }
    }
}

分析：

先看对数的性质,，;
假设给出一个数10234432,那么;
log10(1.0234432)就是log10(10234432)的小数部分.
log10(1.0234432)=0.010063744
10^0.010063744=1.023443198
那么要取几位就很明显了吧~
先取对数(对10取),然后得到结果的小数部分bit,pow(10.0,bit)以后如果答案还是<1000那么就一直乘10。
注意偶先处理了0~20项是为了方便处理~
这题要利用到数列的公式:an=(1/√5) * [((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n](n=1,2,3.....)

                               

取完对数：

                     

log10(an)=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0)+log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)其中f=(sqrt(5.0)+1.0)/2.0;
log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)->0
所以可以写成log10(an)=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0);
最后取其小数部分。