算法第五章作业

1. 用回溯法分析“最小重量机器设计问题”

1.1 解空间
解空间就是“所有可能的选择组合”。比如有2个部件，每个部件有3个供应商，那解空间就是3×3=9种组合（部件1选供应商1+部件2选供应商1、部件1选供应商1+部件2选供应商2……以此类推）。
抽象点说：解是一个长度为n的数组x[1..n]，x[i]表示第i个部件选的供应商编号（范围是1到m），解空间就是所有这样的数组的集合。

1.2 解空间树
解空间树是把“选供应商”的过程拆成步骤的树：
根节点：还没选任何部件；
第1层节点：第1个部件选不同供应商的情况（比如m个供应商，就有m个分支）；
第2层节点：在第1个部件选好的基础上，第2个部件选不同供应商的情况；
……
第n层节点：选完最后一个部件，每个节点对应一个完整的组合（叶子节点）。
比如n=2、m=3的话，解空间树是一棵“2层分支（根+2层）、叶子节点有9个”的树。

1.3 每个节点的状态值
遍历树的时候，每个节点得记两个关键状态：

1. 已选部件的总重量：比如走到第k层节点，就是前k个部件选完后的总重量；

2. 当前选到第几个部件：比如第k层节点，对应“正在选第k+1个部件”。
   另外，为了剪枝（少走没用的路），还会记“剩余部件的最小可能重量之和”——如果“当前总重量 + 剩余最小重量”已经比当前找到的最优解大，那就不用往下走了（这就是回溯的“剪枝”）。

3. 我对回溯算法的理解
   回溯法其实就是“试错法”：像走迷宫，走一步记一步，走不通就退回去换条路走。
   它适合“需要从很多组合里找满足条件的解（比如最优解、可行解）”的问题，但组合太多的话直接暴力枚举会超时，所以回溯法加了“剪枝”——提前判断某条路肯定到不了目标，就直接放弃这条分支，省时间。

比如这个机器设计问题，要是暴力枚举所有组合，n=10、m=5的话就得算5^10种，肯定慢；但回溯的时候，算到某一步发现“当前重量已经比之前找到的最小总重量大了”，后面的部件再选再轻也没用，直接退回去换个供应商选，能省很多计算。

不过回溯法也有缺点：要是问题的解空间太大，就算剪枝也可能很慢，这时候可能得用动态规划之类的方法，但回溯法胜在思路简单，能解决很多“组合选择类”的问题。