递推

C++递推算法详解：从原理到实战应用

递推算法是C++中解决序列和状态转移问题的核心方法。下面从原理到应用全面解析递推算法，帮助你系统掌握这一知识点。

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🔍 一、递推算法的核心原理

递推算法将问题分解为有序的状态序列，通过递推关系式和初始条件迭代求解。核心思想是"从已知推未知"，分为两种形式：

1. 顺推（正向递推）：从初始条件开始，逐步推导到目标状态
   举例：斐波那契数列 F(n) = F(n-1) + F(n-2), 初始值 F(0)=0, F(1)=1

2. 逆推（反向递推）：从目标结果反向推导到初始条件
   举例：猴子分桃问题（已知剩余桃子数，逆推初始数量）

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⚖️ 二、递推 vs 递归：关键区别

虽然递推和递归都依赖"问题分解"，但实现和效率差异显著：

特性	递推	递归
实现方式	循环结构（如 for/while）	函数自我调用
时间复杂度	通常 O(n)（线性）	可能 O(2ⁿ)（指数级，如斐波那契）
空间复杂度	O(1)（仅需存储前几个状态）	O(n)（调用栈开销大）
适用场景	大规模计算、需高性能	小规模问题、代码简洁性要求高

结论：递推因避免函数调用栈开销，在性能和内存占用上更具优势。

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🛠️ 三、C++实现递推的步骤与代码示例

递推算法的实现步骤：

1. 确定初始条件：定义问题边界值
2. 构建递推关系式：找到状态转移方程
3. 选择存储结构：用变量或数组保存中间状态
4. 循环迭代计算：从初始状态推导到目标状态
5. 处理边界与输出：检查特殊情况并返回结果

✅ 经典案例代码

1. 斐波那契数列（顺推）

int fibonacci(int n) {
    if (n <= 1) return n;
    int a = 0, b = 1, c;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        c = a + b;   // 递推关系式
        a = b;       // 更新前两项
        b = c;
    }
    return b;
}