[USACO18JAN] Lifeguards P

前言

\(\rm{HD0X}\) 大佬在寝室给我讲了一遍, 一点没听懂, 回机房在听了一遍, 好像懂了

思路

转化题意,

给定 \(n\) 个左开右闭区间 \((l_i,r_i]\), 求去除其中的 \(k\) 个后剩下的区间的并集最多可以覆盖多少个整数

首先考虑朴素 \(\rm{dp}\)

容易发现当左端点相同时, 右端点小的那些线段都没有什么用, 单调队列去掉左端点大而且右端点小的线段即可 (\(\rm{AFO}\) 定理)

我们令 \(f_{i, j}\) 表示考虑了前 \(i\) 个区间, 删除了其中的 \(j\) 个

运用一些直觉和注意力可以发现,

\[f_{i, j} = \max_{k < i} f_{k, j - (i - k - 1)} + r_i - \max(l_i, r_k) \]

字面意思, 找到上一个选择的段然后更新

因为每次往前枚举只能到 \(k\) 级别, 具体的, 需要满足

\[j \leq K , j - (i - k - 1) \geq 0 \to k \geq i - K - 1 \]

, 所以复杂度为 \(\mathcal{O} (nk^2)\)

---

怎么优化?

柿子里有 \(\max\) 考虑拆, 转移柿子变成

\[f_{i, j} = \begin{cases} \begin{align} & f_{k, j - (i - k - 1)} + r_i - l_i , l_i > r_k \\ & f_{k, j - (i - k - 1)} + r_i - r_k , otherwise. \end{align} \end{cases}\\ \]

注意到当 \(i, j\) 一定时, 这相当于两个区间维护, 扔进得塔斯抓克车儿里维护可以做到 \(\mathcal{O} (n \log n k)\) , 还是过不去

那么怎么维护可以做到 \(\mathcal{O} (1)\) 的找区间最大值?

对于 \((1)\) 柿, 我们把柿子变成

\[f_{i, j} = r_i - l_i + \max f_{k, k - (i - j - 1)} \]

对于 \((2)\) 柿, 我们把柿子变成

\[f_{i, j} = r_i + \max f_{k, k - (i - j - 1)} - r_k \]

对于第二个柿子是一种单调队列的形式, 我们往这个方向想, 考虑开 \(n\) 个单调队列, 第 \(i - j - 1\) 条单调队列维护 \(f_{k, k - (i - j - 1)}\) 的转移最值, 显然的, 对于 \((2)\) 柿直接维护单调队列最值, 对于 \((1)\) 柿, 你注意到从单调队列里面弹出来的都可以用于更新 \((1)\) 柿, 那么我们也同样的维护最值即可

实现

这几天实现都非常差, 练一下吧

反正这个题不可能好写

框架

首先在输入的时候去掉无意义的线段

计算当前的 \(K\) , 特别的, 如果 \(K\) 已经 \(\leq 0\) 那么直接输出当前结果

考虑转移, 枚举 \(i, j\) , 计算 \(f_{i, j}\) 考虑利用 \(i - j - 1\) 个单调队列中的结果

每次更新单调队列的时候, 顺手也需要处理 \((1)\) 柿的转移最值, 开个数组记录

单调队列去尾不消说, 删头的时候注意是已经不交就删, 如果还交是要保留的

代码

#include <bits/stdc++.h>
const int MAXN = 1e5 + 20;
const int MAXK = 120;

inline int read() {
    int x = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') {
        if (ch == '-') f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9')
        x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
    return x * f;
}

int n, K;
int cnt = 0;
struct node {
    int l, r;
    bool meaningful = true;
    bool operator < (const node& a) {
        return (l == a.l) ? r > a.r : l < a.l;
    }
} Seq_Read[MAXN], Seq[MAXN];

int DIS[MAXN]; // 不相交最值 , 数组维护
struct Mono_Queue
{
    struct node {
        int Val;
        int timestamp;
    };
    std::deque<node> Q;

    void insert(node x) {
        while (!Q.empty() && Q.back().Val < x.Val) Q.pop_back();
        Q.push_back(x);
    }

    /*保持滑动区间, 顺手更新*/
    void update(int nowtimestamp, int id) {
        while (!Q.empty() && Seq[Q.front().timestamp].r <= Seq[nowtimestamp].l) {
            DIS[id] = std::max(DIS[id], Q.front().Val + Seq[Q.front().timestamp].r);
            Q.pop_front();
        }
    }
} IS[MAXN]; // 相交最值 , 单调队列维护

/*对原序列进行一个去除无用线段*/
void Unique()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (Seq_Read[i].l == Seq_Read[i - 1].l) Seq_Read[i].meaningful = false;
        else Seq_Read[i].meaningful = true;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (Seq_Read[i].meaningful) Seq[++cnt] = Seq_Read[i];
    }
    K -= n - cnt;
    n = cnt;
}

int f[MAXN][MAXK];

/*处理转移*/
void solve()
{
    K = std::max(K, 0); // 防止趋势
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= std::min(i - 1, K); j++) {
            IS[i - j - 1].update(i, i - j - 1); // 先更新当前的单调队列
            if (!IS[i - j - 1].Q.empty())
                f[i][j] = std::max(f[i][j], IS[i - j - 1].Q.front().Val + Seq[i].r);
            f[i][j] = std::max(f[i][j], DIS[i - j - 1] + Seq[i].r - Seq[i].l);
            IS[i - j].insert({f[i][j] - Seq[i].r, i});
        }
    }
    int Ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        Ans = std::max(Ans, f[i][std::max(0, K - (n - i))]);
    }
    printf("%d", Ans);
}

int main()
{
    scanf("%d %d", &n, &K);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        Seq_Read[i].l = read(), Seq_Read[i].r = read();
    std::sort(Seq_Read + 1, Seq_Read + n + 1);
    Unique();

    solve();

    return 0;
}

总结

善于找到转移柿子

有 \(\max\) 考虑拆

善于通过数学形式发现规律从而简化问题, 本题中用 \(i - j - 1\) 来维护非常的智慧

一般来说, 在转移的时候把枚举的东西当做常数, 可以简化问题, 也更好找到规律, 还可以吧常数聚到一起来处理