两平面间8参数变换参数求解简单原理解析

在摄影测量中，为了方便数据后续解算，会存在将单幅影像中像素点坐标转换为规定平面坐标的处理。利用两平面的8参数变化，可以快速的计算出由像素点坐标解算到指定坐标的具体转换关系。本文将解析两平面8参数变换参数求解的原理。

两平面间中心投影的8参数变换式

参数解算流程

转换参数计算原理

通常在解算中，控制点像素点坐标与定义平面坐标均为已知值（或是通过测量和计算可以求解的数据），因此为了求解转换参数，可将8参数变换式化为整式并整理。

先将等式右边分母乘到等式左边化为整式

将含转换参数的项提到等式一边

此时，等式可化为矩阵形式

其中

为了避免出现秩亏的情况，要解算出的值，参数阵至少为的矩阵，常数项阵至少为的矩阵；在实际中则为取4个控制点，计算出对应的参数阵和常数项阵并组成整体的参数阵和常数项阵进行求解

$L_{efg}=A^{-1}B$

存在多余观测时的条件平差求解

实际中，为了提高转换参数值解算的精度，通常会提取多于4个控制点进行多余观测以进行平差解算。因此当控制点大于等于5时，可以依据条件平差原理进行解算。

由变换参数平差值条件方程

可得变换参数条件方程及闭合差分别为

考虑到

整理得改正数条件方程式

闭合差计算式

其中， $L_{efg}$ 为变换参数观测值，可取已知的4个控制点进行上一部分所提的方法解算得出。

将变换参数视为等权，所以权阵和权逆阵存在关系，此时可以求解法方程系数阵

$N=AQA^{T}$

联系数向量

$K=N^{-1}W$

改正数

$V=QA^{T}K$

由此可求得平差值 $\widehat{L}_{efg}$

$\widehat{L}_{efg}=L_{efg}+V$

当对平差结果进行精度评定时，单位权方差估计公式

$\widehat{\delta }_{0}^{2}=\frac{V^{T}PV}{n}$

其中，为所列的条件方程数即参数阵的行数

利用间接平差求解

相较于条件平差，间接平差在平时的数据解算中更为常用。这里将探讨如何将上述数据改化为间接方程参数矩阵已进行求解。

在“转换参数计算原理”部分，我们构建了变换参数的条件式

$A\widehat{X}_{efg}+A_{0} = 0$

( $\widehat{X}_{efg}$ 即为前面所述的 $\widehat{L}_{efg}$ )

整理后得

由间接平差函数模型

$V =B \widehat{x} - l$

其中

$\widehat{X}_{efg}=X^{0}_{efg}+\widehat{x}_{efg}$

( $X^{0}_{efg}$ 为待求转换参数的近似值， $\widehat{x}_{efg}$ 为参数改正数)

$l = L - BX^{0}_{efg}-d$

(为观测值，为常数。在此处，， $d=A^{-1}A_{0}$ )

在间接平常中，通常我们将待求值设为参数 $\widehat{X}$ ，此处同理

对照得设计矩阵

$B=I_{8}$

常数项

$l = L - BX^{0}_{efg}-A^{-1}A_{0}$ 若未对 $X^{0}_{efg}$ 进行指定，将其视为0

将变换参数视为等权，所以权阵和权逆阵存在关系

由间接平差的法方程

$B^{T}PB\widehat{x}-B^{T}Pl=0$ 即 $N_{bb}\widehat{x}-U=0$

法方程的系数阵 $N_{bb}$ 和常数项

$N_{bb}=B^{T}PB,U=B^{T}Pl$ 可得参数向量 $\widehat{x}_{efg}$

$\widehat{x}_{efg}=N^{-1}_{bb}U=(B^{T}PB)^{-1}B^{T}Pl$ 观测值改正数

$V=B\widehat{x}_{efg}-l$ 最终可求得观测值平差值 $\widehat{L}$ 和参数平差值 $\widehat{X}_{efg}$

$\widehat{L}=L+V,\widehat{X}_{efg}=X^{0}_{efg}+\widehat{x}_{efg}$

单位权方差估计公式原理同条件平差。

对于求解非方矩阵的逆阵情况的解决

在利用间接平差求解，在求解常数项 $l = L - BX^{0}_{efg}-A^{-1}A_{0}$ 时，可能会出现因为矩阵为非方矩阵不存在逆矩阵的情况。此时可用的伪逆 $A^{+}$ 进行替代求解，其计算方法为对非方矩阵进行svd分解求解得 $A=U\Sigma V$ ，此时伪逆阵 $A^{+}=V\Sigma ^{-1}U$ 。具体原理可参照其他资料进行补充理解。

posted @ 2021-12-03 14:01 于云岚阅读(964) 评论(0) 收藏举报

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