组合数学 (学习笔记)(26.1.28)

组合数学 (学习笔记)

概述

用于解决各种组合计数问题，统计方案数类型的

基础

排列数

用符号 \(A_n^m\) 表示，\(A_n^m = n(n-1)(n-2)\dots (n-m+1)= \frac{n!}{(n-m)!}\)

组合数

用符号 \(C_n^m = \binom{n}{m}\) 表示，\(C_n^m = \frac{A_n^m}{m!}(表示在全排中除去全排的次数) = \frac{n!}{m!(n-m)!}\)

插板法

可以用于分组问题：

1. 对于直接分组，可以想象为选择空隙，直接使用组合数 \(\binom{n-1}{k-1}\) 就可以求出分组的方案数

2. 对于允许组为空的情况，我们可以去再创造 \(k\) 个元素，在 \(n + k\) 个元素中插板，\(k\) 是用于保证每组至少有一个元素的，在插完后元素就被拿走了，而自然剩下的就是空组，所以答案是正确的，公式为：\(\binom{n+k+1}{n}\)

3. 可以用于求解 \(x_1+x_2+ \dots +x_k=n\) 的解的数目

4. 对于存在下界的情况，比如每个至少要求分到 \(a_i\) 并且 \(\sum a_i\le n\)，若我们借 \(\sum a_i\) 个过来，保证第 \(i\) 组至少能分到 \(a_i\) 个，令 \(x'_i = x_i-a_i\)（也就是确定了下界，在剩下的数里进行选择），得到方程

   \[(x'_1+a_1)+(x'_2+a_2)+\dots+(s'_k+a_k)=n\\ x'_1+x'_2+\dots+x_k' = n-a_1-a_2-\dots-a_k\\ x'_1+x'_2+\dots+x_k' = n-\sum a_i \]

   其中对于 \(x'_i\ge 0\)，所以就转换成了问题二，最后公式为：\(\binom{n-\sum a_i+k-1}{n-\sum a_i}\)

5. 从一个排列中选择 \(k\) 个不相邻的数，这 \(k\) 个数中任何两个都不相邻的组合有 \(\binom{n-k+1}{k}\)

二项式定理

对于下面的式子，可以理解为，有 \(n\) 次选择，每回需要选择一下是选 \(a\) 还是选 \(b\)，然后选了一部分 \(b\)，剩下的就是 \(a\)，而对于 \(n\) 个选择里选 \(i\) 个的方式总共有 \(\binom{n}{i}\) 种，然后枚举一下，就可以得到了

\[(a+b)^n = \sum _{i=0}^n \binom{n}{i}a^{n-i}b^i \]

然后可以扩展到三项式，因为需要选择 \(x\) 个 \(a\) 项，然后在 \(n-x\) 中选 \(y\) 个 \(b\) 项，剩下的就是 \(c\) 项，所以系数可以写成：

\[\binom{n}{x}*\binom{n-x}{y} = \frac{n!}{x!y!z!}注：(z=n-x-y) \]

最后得到：

\[(a+b+c)^{n}=\sum{\substack{x+y+z=n \\ x, y, z \geq 0}} \frac{n!}{x!y!z!} a^{x} b^{y} c^{z}注：把所有可能的x,y,z加起来 \]

再扩展到多项式：

对于每个系数 \((a_1+a_2+\dots+a_m)^n\)，我们要去找展开式的每项的次数组合，是如 \(a_{1}^{k_{1}} a_{2}^{k_{2}} a_{3}^{k_{3}} \ldots a_{m}^{k_{m}}\) 这样的项，最后我们进行组合，\(\binom{n}{k_1}*\binom{n-k_1}{k_2}*\binom{n-k_1-k_2}{k_3}*\dots*\binom{k_m}{k_m}\)，化简后发现其中的一些项可以相互抵消，最后剩下了

\[\frac{n!}{k_1!k_2!\dots k_m!} \]

就可以由此得到：

\[(a_1+a_2+a_3+\dots+a_m)^n =\sum{\substack{k_1+k_2+\dots+k_m=n \\ k_1,k_2,\dots,k_m \geq 0}}\frac{n!}{k_1!k_2!\dots k_m!}a_1^{k_1}a_2^{k_2}\dots a_m^{k_m} \]