基础线性Dp (练习笔记)(25.10.31)

基础线性Dp (练习笔记)

尖头的金牌

1. 该题可以通过推导式子，得到前一项加的金牌是不得超过后一项加的金牌的

   \(a'[i]=a[i]+x[i]>a'[i+1]=a[i+1]+x[i+1]\) 通过式子表达出在加上某些数后出现前一个比后一个大的情况
   然后我们可以去设c为a前后差值：\(c=a[i+1]-a[i]<x[i]-x[i+1]\) (在c比两个加的差值小的时候)
   随后去列出一个相同的情况，发现：\(a'[i+1]=a[i+1]+x[i]-c>a'[i]=a[i]+x[i+1]+c\) 与前一个式子相同 所以我们在化简后，只能去考虑 \(x[i]-x[i+1] \le c\) 的方案（因为\(x[i+1] \ge 0\)）所以只考虑 \(x[i] \le c\)

2. 然后我们尝试将i设为阶段，状态设计j为总奖牌数，本盒子里新放的为k

   \[f[i][j][k]=\sum_{K=0}^{K \le (a[i]+k)-a[i-1]}{f[i-1][j-k][K]} \]

3. 求和式还可以使用前缀和优化，并且 \(K \le j-k\)

4. 代码：

   const int mod=998244353;
   const int N=300;
   int a[N+1],f[N+1][N+1][N+1];//第i个盒子放k个，共j个 
   int main(){
   	int n,m,i,j,k,x;
   	scanf("%d%d",&n,&m);
   	for(i=0;i<=n;i++)f[1][i][i]=1;
   	for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
   	sort(a+1,a+n+1);
   	for(i=2;i<=n;i++){
   		for(j=0;j<=m;j++){
   			for(k=0;k<=j;k++){
   				x=min(a[i]+k-a[i-1],j-k);//k能到达的最大值和j-k看一下哪个小，就使用哪个
   				//因为两边可使用的数量可能是一样的，但是还要满足不能超过j的总和
   				(f[i][j][k]+=f[i-1][j-k][x])%=mod;
                  	 //先去基础转移，单纯表示在i，j下k个能有多少方案
   			}
               //这里是前缀和优化，直接累加每一个自己，表示的是在i，j下从0到k总共有多少方案
   			for(k=1;k<=j;k++)(f[i][j][k]+=f[i][j][k-1])%=mod;
   		}
   	}
   }
   

5. 总结：

   在遇见带约束的计数问题的时候同时可以考虑dp计数，首先要分析约束是哪些，状态必须可以推导约束，所以分为：阶段(i)，状态变量(j,k)，决策(可能需要有不同的转移)

   本质也是把全局约束+逐步解决问题拆解成相邻阶段局部约束（数学归纳法推导），所以状态变量是要用于处理约束的，阶段是用于分层解决问题的

P2758 编辑距离

如果要搜索，会根据A进行逐步搜索，与B对应，然后去看三个操作（分别与B对应）一直到最后，去求最小答案，之后就可以发现子问题是A在某个长度去做完操作变到B的某个长度（如果进行优化，那我们需要的是松弛后的最小值），所以：
可以设置\(dp_{i,j}\)状态表示在A长度为i的时候，变为B的长度为j的最少操作次数是多少，然后进行枚举并且与四个决策相关联进行转移

P8816 上升点列

首先考虑从搜索转移，搜索是从每个点去做枚举，去看下一个点能不能选，然后记录着当前长度，使用k的点数，两个点之间如果转换，那么就需要距离-1和剩下的K值相同，而多出来的k值就直接加上（表示为在第i点，之前用了j个新点，然后跳转到新点）（松弛需要最大值，所以需要把多余用的点加在距离上）

所以设\(dp_{i,j}\)状态表示：在第i个点结尾的时候，使用了j个新点的最长长度

P7074 方格取数

该题先从搜索考虑，发现可以记忆化搜索，使用转移方向作为记忆数组

然后还可以使用Dp，这里讲一下Dp
Dp，首先设置状态x,y然后再设置一个方向，就可以使用转移
通过观察，（因为需要思考一个Dp数组是由哪些子问题而来），所以发现一个Dp数组是从左，上，下而来，所以先去处理左，上下，不断回退，可以抽象理解为先处理完一列再处理下一列，之后去详细写转移式就行

Dp关于无后效性的证明，主要去证明一个数组不会被其后面的数组改变就行，然后题目满足不重复，只向右，所以一定是无后效性的

P2516 最长公共子序列

首先第一问，LCS，因为搜索中需要的是逐步枚举，所以涉及状态为逐步状态，然后转移也只需要从上一个去转移写就行
\(dp_{i,j} = dp_{i-1,j-1}+1\) \(dp_{i,j} = max(dp_{i-1,j},dp_{i,j-1})\)
式子可行性在于，可以有明确的转移，有最优子结构（因为在一个新的字母加入去做枚举的时候，便需要用到前面的最优子问题），无后效性，当前最佳与后面无关

第二问，求LCS个数，这里的想法是，逐步枚举，并且绑定在每一步LCS长度与个数，想要达成转移，有以下几点：

1. 若有新的字母加进来，便去把上一个的LCS个数转移过来
2. 若无新的字母（表示从 \(f[i-1][j]\) 和 \(f[i][j-1]\) 转移来），就把这两个的数去转移过来
3. 特殊情况是两个都被转移，但是问题是可能会有部分重合，这里就要考虑容斥
4. 所以如果两个都能转移，就要消除一个重合部分，就是\(f[i-1][j-1]\)