基础线性dp(25.9.27)

基础线性Dp

概述

指在O(n)时间内完成的动态规划算法，最优子结构，无后效性和子问题重叠

一开始搞不懂去怎么证明一些子问题，为什么可以通过转移得到新的解就是最优解，后面通过讲解知道了，因为：dp本质其实是一个表结构，表用作的是子问题的求解与存储，在新问题出现的时候，便开始枚举求解，但是是把所有的子问题直接使用，避免了再次枚举，所以是一个枚举优化，无需证明
所以dp可以理解为，设置一些状态下的子问题，之后去做枚举，使枚举中的时间复杂度小一些，然后求解出新的子问题，最后求出答案

考点条件与思考方向

状态定义的思考

\(阶段划分(找拓扑序) \rightarrow 设计状态 \rightarrow 确定决策 \rightarrow 转移方程 \rightarrow 确定边界 \rightarrow 确定目标\)

1. 尝试去寻找一个拓扑序，（通过答案性质寻找），在完成一个事情之前必须完成之前的一个事
2. 觉得一个状态要包含多少信息，才可以让转移简单并且不重不漏
3. 在满足后面条件的情况下，尽量减少状态蕴含的不必要的信息
   先保证是对的，再想优化
4. 分组：表示是当前 部分/阶段 的最优解
5. 先列出分组（非完全最优解，指的是在当前位置 不是完全范围）+ 附带性质最优解，把两个放一块
   本意就是列出不同状态

最优问题求解

考虑是否可以尝试直接 最优解 为dp含义（阶段）

比如设：Dp[x]为在选择a[x]数的时候，最优解

考虑是否可以反向尝试设 最优状态 为dp含义（阶段）

比如设：dp[x]为在答案为x的时候，当前的最优状态
如：dp[x]为，在长度为x的时候，记录是的最优的选择的数，最优状态

考虑是当前为最优向后扩展，或是当前的最优由前面的最优寻找（收集/拓展）

方案问题求解

考虑是否可以分为多个小方案的总和

尝试设dp为所有小方案的最优解，最后把所有答案加起来

考虑是否可以从当前最优总方案转到另一个最优总方案

尝试设dp为至当前范围的最优总方案的最优解，最后转移到最后

计数问题求解

较为特殊的动态规划，实际是运用了状态类型，进行递推

尝试设置不同状态（状态先要完全）的计数结果，再加上状态转移