DP入门 leetcode题目为例

解决dp问题，关键分为两步，第一步摆出初始状态，第二步列出状态转移方程。

注意初始状态也是最优解。

 

leetcode 70.爬楼梯

初始状态，在第一层楼梯时，明显只有一种方法 F[1] = 1；在第二层楼梯时，有两种方法，F[2] = 2。

状态转移方程，可以看到，在第三层楼梯时，可以由第一层走两个，或者是在第二层走一个台阶到达，那么到达第三层楼梯的方法数目就是第一层的加上第二层的数目

以此类推，到达第i层楼梯的方法数就等于第i-1层的加上第i-2层的方法数

则状态转移方程为 F[i] = F[i-1] + F[i-2]

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {

        int A[46];
        A[1]=1;  A[2]=2;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            A[i]=A[i-1]+A[i-2];
        }
        return A[n];

    }
};

 

 

leetcode 746.使用最小花费爬楼梯

注意这道题和上一题在初始状态上就不一样，可以选择从下标为0或者下标为1的台阶开始爬楼梯，那就意味着站在下标为0或者1的台阶上的花费是0。初始状态为 F[0] = F[1] = 0

状态转移方程：在第i个台阶上，可以由第i-2个台阶上两步，此时花费是到达第i-2的台阶的最小花费加上其本身的花费；或者由第i-1个台阶上一步，此时花费是到达第i-1个台阶的最小花费加上其本身的花费。为了使花费最小，应该选择这两种状况的最小者。

则状态转移方程为 F[i] = min(F[i-1]+cost[i-1] , F[i-2]+cost[i-2] )

值得注意的是到达第i个台阶是不花费其本身第i的台阶的消耗值的

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        int A[1005];
        int length=cost.size();
        A[0]=0;
        A[1]=0;
        
        for(int i=2;i<=length;i++){
            A[i]=min((A[i-1]+cost[i-1]),A[i-2]+cost[i-2]);
        }
        return A[length];
    }
};

 leetcode 198，213.  打家劫舍

当只有一个房间时，则只需要偷走这一个房间的，初始状态A[1]=nums[0]； 如果有两个房间，则偷走两个房间中最大值的那间，初始状态A[2]=max(nums[0],nums[1]);

在第i个房间时，则考虑在偷走i-1最优下的但是不能偷走i的值  与偷走i-2的房间的最优的并且也偷走第i的房间的   这两个值的大小，选择值最大的策略。

状态转移方程： A[i] = max(A[i-1], A[i-2]+nums[i])

213（两次dp）相比198的打家劫舍，将第一家和最后一家相邻，此时只需要分别计算，进行两次dp。将第一家一直到倒数第二家算一次，第二家到倒数第一家算一次，将两个结果取最大值就是最终结果

 

leetcode 740. 删除并获得点数

先对数据进行离散，其实就是统计出以 i 为下标的值在nums中出现了几次（或者是统计出出现的和，即i*出现的次数）。举例：A[3]=4，就代表着在nums中3这个数字出现了4次。

若nums中没有的数字，在统计的列表中也就是0

在题目中描述的当获得了x的点数后，就要删除掉x-1和x+1的值，在统计后的列表中也就对应着x下标的前一项和后一项

这样对数据离散后也就将本问题转化为198 打家劫舍问题

另一种解法是，先对数据进行排序，将数据分成多个连续的小序列（这里指的是序列中相邻的两个数最大差值为1），这样对相同的数字求和传进另一个数组，对另一个数组进行打家劫舍，对多个小序列的结果相加就是最终的结果

 

leetcode 53 最大子数组和

将每一位下标的位置当做子数组中的最后一个元素的最大和，之后求得最大和的最大值

转移方程：sum[i] = max( sum[i-1]+nums[i], nums[i] )

 

leetcode 918 环形子数组的最大和

分为两种情况，最大子数组和包括首尾两端的，和最大子数组和在数组中间的，在中间的就和53一样了，在首尾两端的就相当于总和减去中间子数组最小和

极端情况，整个数组都是负数的情况下需要特殊判断，判断中间的最大子数组和小于0，则直接输出在中间的那个结果