事件与概率

随机现象

• 在一定条件下并不是总出现相同结果的现象，称之为随机现象.
• 随机现象具有两个特点：
  • 出现的结果不止一个；
  • 事先我们并不知道哪个结果会出现。
• 尽管随机现象的结果事先不可预知，但是很多随机现象的发生会表现出一定的规律性。随机现象的这种规律性称之为统计规律性，其正是概率统计的研究对象。

随机试验

• 对随机现象进行的实验和观察，称为随机试验，常用大写字母 \(E\) 来表示.
• 随机试验具有两个特征：
  • 结果具有随机性
  • 可以重复进行

样本空间

• 随机试验的每一个可能结果，称为样本点，通常记为\(\omega\)
• 随机试验的所有样本点组成的集合，称为样本空间，通常记为 \(Ω\).
• 样本空间来自随机试验.

随机事件

• 随机试验的某些可能的结果组成的集合，即样本空间中的部分元素所组成的集合，称为随机事件，简称为事件，通常用大写英文字母\(A,B,C\)等来表示.
• 随机事件的本质是集合，是样本空间 \(\Omega\) 的子集
• 基本事件：只含有一个样本点的事件.
• 必然事件：包含全部样本点的事件,即\(Ω\).
• 不可能事件：不含有任何样本点的事件，用\(\phi\)来表示.
• 如果某次随机试验出现的结果 \(\omega\) 包含在随机事件 \(A\) 中，我们就称事件 \(A\) 发生了.以集合论的语言来说，即 \(w∈A\) .

事件间的关系

• 包含：若事件A发生必然导致事件B也发生，则称事件A包含于事件B，事件B包含事件A或者事件A是事件B的子事件.记为\(A\subset B\) .
• 相等：若事件A与B使得\(A\subset B\)和\(B\subset A\)同时满足，则称事件A与B相等或等价，即是同一事件，记为\(A=B\).
• 互不相容：若事件A与B不能同时发生则称事件A与B互不相容。

事件间的运算

• 并：由事件A与B至少有一个发生构成的事件，称为事件A与B的并，记为\(A\cup B\).
• 交：由事件A与B同时发生构成的事件，称为事件A与B的交，记为\(A∩B\)或\(AB\).
• 差：由事件A发生而B不发生构成的事件，称为事件A与事件B的差，记为\(A\setminus B\).
• 对立：事件\(\Omega \setminus A\)称为事件A的对立事件，记为\(\overline A\).
• 对称差：事件\(A\setminus B\)和\(B\setminus A\)的并称为事件A与B的对称差，记为\(A△B\).
• 特殊标记：
  • 当\(AB=\phi\) 时，我们将 \(A\cup B\) 写为 \(A+B\).
  • 当\(A\supset B\)时，我们将\(A\setminus B\)写为\(A-B\).
• 特殊性质：
  • \(A \cup B = B\cup A\), \(AB = BA\).
  • 一般地,\(A\setminus B≠ B\setminus A\), 但\(A△B=B△A\).
  • 事件A与B互不相容当且仅当\(AB=\phi\).
  • 事件A与B对立，则一定互不相容；反之不真
  • \(\overline{\overline A}=A\)
  • \(\overline A=B\) 当且仅当 \(AB=\phi\)且 \(A\cup B=\Omega\) 成立.
  • \(\overline{A}=\Omega-A.\)
  • \(\overline{A}=B\) 当且仅当 \(A+B=\Omega.\)
  • \(A\triangle B=(A\backslash B)+(B\backslash A),A\cup B=(A\triangle B)+(AB).\)
  • \(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}\)
  • \(\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}\)

事件域

• 设 \(\Omega\) 表示样本空间，\(\mathcal{F}\) 是由 \(\Omega\) 的部分子集组成的集合类，若\(\mathcal{F}\)满足:
  • \(\Omega\in\mathcal{F}\)
  • \(A\in\mathcal{F} \Rightarrow \overline{A}\in\mathcal{F}\)
  • 对任意的\(n\geqslant1\),\(\:A_n\in\mathcal{F}\Rightarrow\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{F}\)
• 则称 \(\mathcal{F}\) 为样本空间 \(\Omega\) 上的事件域，简称为事件域.
• \(\mathcal{F}_{0}=\{\Omega,\emptyset\}\text{和}\mathcal{F}_{1}=\{A:A\subset\Omega\}\text{都是事件域}.\)
• 设 \(\mathcal{F}\) 为样本空间 \(\Omega\) 上的事件域，则\(\mathcal{F}\) 对事件的有限并,有限交,可列交等运算都封闭

概率

• 设\(P(\cdot)\) 是定义在 \(\mathcal{F}\) 上的实值函数,如果其满足下面三条公理:
  • 非负性公理:\(P(A)\geqslant0\)
  • 正则性公理: \(P(\Omega)=1\)
  • 可列可加性公理: 若\(A_1,\ldots,A_n,\ldots\) 互不相容，则

\[P\left(\sum_{n=1}^{\infty}A_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n) \]

• 则称，\(P(\cdot)\)为概率测度或概率
• 本质上，概率是一个集函数，即自变量是集合(事件)，取值为实数的函数.
• 称三元总体\((\Omega,\mathcal{F},P)\) 为概率空间，\(\Omega\) 为样本空间,\(\mathcal{F}\) 为事件域, \(P\) 是定义在\(\mathcal{F}\)上的概率测度.

概率的性质

• 设\((\Omega,\mathcal{F},P)\) 是给定的概率空间,\(A,B,C\in\mathcal{F}\),我们有
• \(P(\emptyset)=0\)
• 对立事件公式：\(P(\bar{A})=1-P(A)\)
• 有限可加性：若\(AB=\emptyset\)，\(P(A+B)=P(A)+P(B)\)
• 可减性：\(\text{若}A\supset B,\text{则}P(A-B)=P(A)-P(B)\)
• 单调性：\(\text{若}A\supset B,\text{则}P(A)\geqslant P(B)\)
• 有界性：\(0\leqslant P(A)\leqslant1.\)
• 加法公式：\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)
• 次可加性：\(P(A\cup B)\leqslant P(A)+P(B)\)
• \(P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB).\)
• 多个事件的加法公式（庞加莱公式）：

\[\begin{aligned}&\text{一般地},\: \text{若}n\geqslant1,\:A_{1},\ldots,A_{n}\in\mathcal{F},\:\text{则}\\ P\left(\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\right)&=\sum_{k=1}^{n}P(A_{k})-\sum_{i<j}P(A_{i}A_{j})+\sum_{i<j<k}P(A_{i}A_{j}A_{k})\\&+\cdots+(-1)^{n-1}P(A_{1}A_{2}\ldots A_{n}).\end{aligned}\]

古典概型

• 样本空间\(Ω\)是有限集
• 每个基本事件的发生是等可能的.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}. \]

• 我们不需要具体列出所有的样本点,只需要知道所含样本点的个数即可，所以计算中经常要用到排列组合工具

频率方法

• 频率方法是指在大量重复试验中用频率的稳定值去替代概率的方法,在日常生活中被经常使用.基本思想是:
  • 随机试验可大量重复进行
  • \(n(A)\) 表示\(n\)次重复试验中事件\(A\)发生的次数,称\(f_n(A)=\frac{n(A)}n\) 为事件 \(A\)发生的频率.
  • \(f_n(A)\)会稳定于某一常数(稳定值).
  • 用频率的稳定值作为事件\(A\)发生的概率

几何方法

• 几何方法是指借助于几何度量(长度,面积或体积等)来计算随机事件的概率的方法．
• 使用几何方法，需要满足两个条件：
  • 样本空间\(Ω\)是\(n\)维空间中的有界区域,\(L(Ω)>0\).我们用\(L(A)\)表示\(A\)的度量．
  • 每个样本点落在某个子区域的概率与该区域的度量大小成正比,与区域的形状和位置无关。

\[P(A)=\frac{L(A)}{L(\Omega)} \]

• 零概率事件未必是不可能事件