振动知识点总结

• 从狭义上说，通常把具有时间周期性的运动称为振动。
• 从广义上说，任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变化，都称为振动。(交流电中的电压、电流，电磁 振荡等)
• 机械振动(振动)是物体在一定位置附近所作的周期性往复的运动

简谐运动

• 在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运动。
• 物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按 余（正）弦函数的规律随时间变化

\[x=A\cos(\omega t+\varphi) \]

参量含义

\(A\)：振幅
\(\omega\)：角频率
\(\varphi\)：初相
\(T\)：周期，\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)
\(f\)：频率，\(f=\frac{1}{T}\)
\(\phi = \omega t+\varphi\)：相，决定物体的运动状态。

运动学特征

\[v=\frac{dx}{dt} =-A\omega\sin(\omega t+\varphi)=A\omega \cos(\omega t+\varphi+\frac{\pi}{2}) \]

\[a=\frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \cos(\omega t+\varphi)=A\omega^2 \cos(\omega t+\varphi+\pi) \]

不难发现

• 物体在简谐运动时，其位移、速度、加速度都是周期性变化的 \(v\) 比 \(x\) 超前\(\pi/2\), \(a\) 比 \(x\) 超前 \(\pi\)

相量图法

设平面内有一个向量 \(\vec{A}\)，长度为\(A\)，其圆周匀速旋转角速度为\(\omega\)，\(t=0\) 时，与 \(x\) 轴成 \(\varphi\) 角，考虑向量在\(x\)轴上的投影

\[\vec x = \vec A \cdot \vec x_n = |A|\cos(\omega t+\varphi) \]

因此简谐运动是匀速圆周运动在某一方向的投影，振幅\(A\)为该圆周的半径，角频率\(\omega\)为该矢量的角速度，\(\phi=\omega t+\varphi\) 为矢量与这个方向的夹角。

旋转矢量作匀速转动时，其端点的位置、速度、 加速度在X轴上的投影，等于一特定的简谐振动的 位移、速度、加速度

一般地，给定\(A,\omega,\varphi\)三个特征量，就唯一地确定一个简谐运动。

仅在旋转矢量法中，\(A,\omega,\varphi\)才有几何意义。

已知旋转矢量地位置，就可以求出系统在某时刻的状态。因此相 \(\phi\) 是确定系统运动状态的重要参量。

相位差

两个简谐运动的相位差为

\[x_1 = A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1) \]

\[x_2 = A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2) \]

\[\Delta \phi = \phi_1-\phi_2 = (\omega_1-\omega_2)t+(\varphi_1-\varphi_2) \]

同相：当\(\Delta \phi = 2k\pi ,k \in \mathbb Z\)时，两振子同时到达同方向各自最大位移处，同时过平衡点向同方向运动，两振动步调一致

反相：当\(\Delta \phi = (2k+1)\pi ,k\in \mathbb Z\)时，两振子同时到达相反方向各自最大位移处，同时过平衡点向相反方向运动，两振动步调相反。

若\(\Delta \phi>0，\phi \not = k\pi\)，则 \(x_1\) 比 \(x_2\) 更早达到正向最大，\(x_1\) 比 \(x_2\) 超前 \(\Delta \phi\) 的位相。

简谐运动的动力学特征

由前面\(v,a,x\)的表达式不难得到

\[a=-\omega^2x \]

\[F = ma = -m\omega^2 x=-kx \]

简谐运动微分方程为

\[F+kx = m\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0 \]

力的大小始终与位移大小成正比，比例系数为\(k\)

\[k=m\omega^2,\omega^2 = \frac{k}{m} \]

可以得到固有角频率和固有周期：

\[\omega = \sqrt\frac{k}{m},T=2\pi\sqrt \frac{m}{k} \]

回复力：方向与位移的方向相反， 始终指向平衡位置的力

简谐运动的动力学定义

质点在与对平衡位置的位移成 正比，而反向的合外力的作用下的运动就是简谐运动 。

初始条件推表达式

\(t=0\)时刻的简谐运动参量为初始条件，一般为\(x_0,v_0\)。

\[x_0 = A\cos\varphi,v_0 =-A\omega \sin\varphi \]

可以得到

\[A^2(\cos^2 \varphi+\sin^2\varphi)=x_0^2 + (\frac{v_0}{\omega})^2=A^2 \]

\[\tan \varphi = -\frac{v_0}{x_0\omega} \]

\[A=\sqrt{x_0^2 + (\frac{v_0}{\omega})^2},\varphi =\arctan (-\frac{v_0}{\omega x_0}) \]

简谐运动的能量

• 简谐运动系统的总能量为：简谐振动系统的动能和势能之和

\[E=E_p+E_k=\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}mv^2 \]

\[E_p =\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t+\varphi) \]

\[E_k = \frac{1}{2}mA^2\omega^2\sin^2(\omega t+\varphi)=\frac{1}{2}kA^2sin^2(\omega t+\varphi) \]

所以

\[E_k+E_p = \frac{1}{2} k A^2 = Const. \]

简谐运动的总机械能保持不变，简谐振动的过程正是动能与势能相互转换的过程，简谐运动的总机械能与振幅的平方成正比。

• 动能与势能的时间平均值

\[\overline{E_{\mathrm{k}}}=\frac1T\int_0^T\frac12kA^2\sin^2(\omega_0t+\varphi_0)dt=\frac14kA^2 \]

\[\overline{E_{\mathrm{P}}}=\frac1T\int_0^T\frac12kA^2\cos^2(\omega_0t+\varphi_0)dt=\frac14kA^2 \]

\[\overline{E_k} = \overline{E_p} = \frac{1}{2}E \]

简谐运动的动能和势能的平均值相等，且等于总机械能的一半。
振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还反映了振动系统总能量的大小（振动的强度）。

这些结论适用于任何简谐运动。

简谐运动的合成与分解

同振动方向、同频率的两个简谐振动的合成

\[x_1 = A_1\cos(\omega_0 t+\varphi_1) \]

\[x_2 = A_2\cos(\omega_0 t+\varphi_2) \]

使用旋转矢量法合成

合振幅为

\[A = A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1) \]

合初相位为

\[\tan \varphi = \frac{A_2\sin\varphi_2 +A_1\sin\varphi_1}{A_2\cos\varphi_2+A_1\cos\varphi_1} \]

• 结论：
  • 当两振动同相时，合振幅最大；反相时，合振幅最小。
  • 合振动仍是同频率的简谐振动.
  • 合振幅不仅与分振幅有关还与相位差有关。
  • \(|A_1-A_2|\le A\le |A_1+A_2|\)

同振动方向、不同频率的两个简谐振动的合成

\[x_1 = A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1) \]

\[x_2 = A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2) \]

\[\Delta \phi = (\omega_2-\omega_1)t+(\varphi_2-\varphi_1) \]

两个旋转矢量之间的夹角会随时间而变化，故合运动不是简谐运动。

同振动方向、不同频率、同初相位的两个简谐振动的合成

\[x_1 = A_1\cos(\omega_1 t+\varphi) \]

\[x_2 = A_2\cos(\omega_2 t+\varphi) \]

\[x=A_1\cos(\omega_1t+\varphi)+A_1\cos(\omega_2t+\varphi) \]

使用和差化积公式

\[x=2A_1\cos(\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t)\cos(\frac{\omega_2+\omega_1}{2}t+\varphi) \]

所以可以认为合运动振幅为 \(A=|2A_1\cos(\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t)|\)，\(A\in [0,2A_1]\)

振幅随时间按余弦函数变化，这种振幅出现加强和减弱现象称为拍。

可见拍的周期

\[\tau=\frac{1}2{}\frac{2\pi}{\frac{\omega_2-\omega_1}{2}} = \frac{2\pi}{\omega_2-\omega_1} \]

拍的频率

\[\nu = \frac{1}{\tau} = \frac{\omega_2-\omega_1}{2\pi} = |\nu_2-\nu_1| \]

拍现象只在两分振动的频率相差不太大时才显出来，即\(\omega_1+\omega_2>>|\omega_1-\omega_2|\) 时。

不同方向（垂直）、同频率的两个简谐振动的合成

阻尼振动

已知空气阻力规律为，当速度不大时，阻力与速度成正比，并方向相反；速度足够大时，与速度的平方成正比。

\[\vec f = -\gamma \vec v \]

动力学方程

\[F+f = ma \]

\[-kx-\gamma v = ma \]

\[m\frac{d^2x}{dt^2}+m\omega^2x+\gamma \frac{dx}{dt}=0 \]

设阻尼系数 \(\beta\) 为

\[\beta = \frac{\gamma}{2m} \]

\[\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x+2\beta\frac{dx}{dt}=0 \]

解得

\[x(t)=C_1e^{-(\beta-\sqrt{\beta^2-\omega_0^2})t}+C_2e^{-(\beta+\sqrt{\beta^2-\omega_0^2})t} \]

三种形态的阻尼运动

已知参量,固有频率 \(\omega_) =\sqrt \frac{k}{m}\)，阻尼系数 \(\beta = \frac{\gamma}{2m}\)

过阻尼

当 \(\beta > \omega_0\) 时

\[x(t)=C_1e^{-(\beta-\sqrt{\beta^2-\omega_0^2})t}+C_2e^{-(\beta+\sqrt{\beta^2-\omega_0^2})t} \]

临界阻尼

当 \(\beta = \omega_0\) 时

\[x(t)=(C_1+C_2)e^{-\beta t} \]

欠阻尼

当 \(\beta < \omega_0\) 时

\[A_0e^{-\beta\cdot t}\cos(\omega t+\varphi_0) \]

三种阻尼运动的特点

• 阻尼较小的运动为欠阻尼
• 阻尼过大时，物体运动不具有周期性，物体将从原来远离平衡位置的状态慢慢回到平衡位置
• 临界阻尼状态下，阻尼适当，系统一次性回到平衡位置，所用时间比过阻尼的情况还要短，使得物体以最短的时间一次性回到平衡位置。

阻尼运功的参量

• 振幅：\(A = A_0e^{-\beta t}\)
• 能量：\(E=E_0e^{-2\beta t}\)
• 时间常数：\(\tau = \frac{1}{2\beta}\)
• 品质因数：\(Q = 2\pi \frac{\tau}{T}=\omega \tau =\frac{\omega }{2\beta}\)

受迫振动

动力学方程

强迫力

\[F_\text{外}{=}F_0\cos\omega_\text{外}{t}，F_0 = ma_0 \]

牛二方程

\[m\frac{d^2 \vec x}{dt^2}=\vec F_\text{弹}+\vec f_\text{阻}+\vec F_\text{外} \]

\[\frac{d^2x}{dt^2}+2\beta\frac{dx}{dt}+\omega_0^2x=a_0\cos\omega_\text{外}t \]

解得

\[x(t)=A_0e^{-\beta\cdot t}\cos(\omega t+\varphi_0)+A_p\cos(\omega_\text{外}t+\alpha) \]

其中，\(A_0e^{-\beta\cdot t}\cos(\omega t+\varphi_0)\) 部分描述了系统的暂态行为，当时间足够长时，此项可忽略。
\(A_p\cos(\omega_\text{外}t+\alpha)\)，是系统的稳定状态，是系统的稳态解。稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化。

受迫振动参量计算

• 将稳定解代入动力学方程得到

振幅

\[A_{\mathfrak{p}}=\frac{a_0}{\sqrt{\left(\omega_0^2-\omega_\text{外}^2\right)^2+4\beta^2\omega_\text{外}^2}} \]

位相

\[\tan\alpha=\frac{-2\beta\omega_\text{外}}{\omega_0^2-\omega_\text{外}^2} \]

稳定受迫振动与简谐振动的区别

• 弹簧振子简谐振动：弹簧弹力即回复力；受迫振动：合外力为回复力。
• 三特征量(\(A,\omega,\varphi\))的本质不同：
  • 弹簧振子：\(\omega\)由系统本身决定，\(A,\varphi\) 由初始条件决定。
  • 受迫振动：\(\omega\)由外力决定，\(A,\alpha\) 由解方程计算。
• 简谐运动能量守恒，受迫振动系统阻力消耗的能量等于外力作功。

共振

定义：在一定频率条件下振幅出现极大值振动剧烈的现象。

受迫振动稳定解的振幅计算公式对外角频率求导，计算导数为0的点，即可得到频率条件

当外角频率为

\[\omega_{\mathrm{r}}=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2} \]

时，振幅取得最大值

\[A_{\mathfrak{p}}=A_{\max}=\frac{a_0}{2\beta\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}} \]