光学知识点总结

光的干涉

杨氏双缝干涉实验

杨氏巧妙地设计了一种把单个波阵面分解为两个波阵面以锁定两个光源之间的相位差的方法来研究光的干涉现象。

干涉条纹的位置

计算波程差

\[\delta = r_2-r_1 \]

\[r_2^2 = D^2 + (x+\frac{d}{2})^2 \]

\[r_1^2 = D^2 + (x-\frac{d}{2})^2 \]

\[r_2^2-r_1^2 = (r_2+r_1)(r_2-r_1)=2xd \]

\[r_2+r_1\approx 2D \]

得到

\[\delta = \frac{xd}{D} \]

用相位差表示

明条纹

\[\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \delta = \pm2k\pi ,k\in \mathbb Z \]

暗条纹

\[\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda}\delta = \pm (2k-1)\pi,k\in \mathbb Z \]

用波程差表示

明条纹

\[\delta = \frac{xd}{D}= \pm k\lambda ,k=0,1,2,... \]

暗条纹

\[\delta = \frac{xd}{D} = \pm (2k-1)\frac{\lambda}{2}, k=1,2,... \]

条纹间距（相邻两明纹或暗纹）

\[\Delta x = \frac{D\lambda}{d} \]

干涉条纹的特点

• 一系列平行的明暗相间的条纹
• \(\theta\) 不太大时条纹等间距
• 中间级次低，两边级次高

波长及装置结构变化时干涉条纹的移动和变化

• 光源\(S\) 的位置变化
  • \(S\) 下移时，零级明纹上移，干涉条纹整体上移。
  • \(S\) 上移时，零级明纹下移，干涉条纹整体下移。
  • 条纹间距不变
• \(d\) ，\(D\)，\(\lambda\) 变化
  • 根据公式，\(\Delta x = \frac{D\lambda}{d}\) 分析即可。

光强分布

• 由于明纹处振幅为\(2A_1\)，暗纹处振幅为\(0\)，且光强与振幅的平方成正比，所以\(I_{max} = 4I_1\)\(I_{min} = 0\)，所以光强分布在 \([0,4I_1]\) 之间

应用

• 测量波长
• 测量薄膜的厚度和折射率
• 长度的测量微小改变量

复色光的干涉

• 若用复色光源，则干涉条纹是彩色的。
• 白光入射时， 0级亮纹为白色，其余级亮纹构成彩带。
• 计算第几级亮纹出现重叠时要用到可见光范围(\(400\to760 \:nm\))

\[k\lambda_1(760 nm) = (k+1)\lambda_2(400nm) \]

可解得

\[k=1.08 \]

相干光

两束满足相干条件的光称为相干光，相应的光源称为相干光源。

相干条件

• 振动方向相同
• 频率相同
• 相位差恒定（保证强弱稳定分布）

普通光源的发光机理

• 原子从高能级到低能级的跃迁，能量减小，向外发射电磁波，从而发光。
• 因此一个原子每一次发光只能发出一段长度有限，频率一定，振动方向一定（电磁波是横波）的光波，这一段光波叫做一个波列。
• 原子的跃迁是自发的，同一原子发光具有瞬时性和间歇性、偶然性和随机性，而不同原子发光具有独立性。
• 所以合振幅不可能稳定，普通光源发出的光波不满足相干条件，不是相干光，不能产生干涉现象。

获得相干光的方法

原理：将同一光源上同一点或极小区域发出的一束光分成两束，让它们经过不同的传播路径后，再使它们相遇，它们是相干光。

• 分波阵列法：把光波的阵面分为两部分
• 分振幅法：利用两个反射面产生两束反射光

菲涅尔双镜干涉实验

屏幕上O点在两个虚光源连线 垂直平分线上， 屏幕上明暗条纹中心对O点的偏离\(x\)：

• 明条纹中心

\[x=k\lambda\frac Dd \]

• 暗条纹中心

\[x=\frac{2k+1}2\lambda\frac Dd \]

劳埃德镜实验

M为一背面涂黑的玻璃片，从狭缝S射出的光，一部分直接射到屏幕P上，另一部分经过
玻璃片反射后到达屏幕，反射光看成是由虚光源S,发出的，S1、S2构成一对相关光源，在屏幕上可以看到明、暗相间的干涉条纹。

• 观察到半波损失现象：当屏幕P移至P‘处，从S1和S2到L点的光程差为零，但是观察到暗条纹。
• 原因：当光从光疏介质射向光密介质时，反射光的相位发生 了 \(λ/2\) 跃变。

薄膜干涉

薄膜干涉是分振幅干涉。

薄膜干涉的两种条纹

• 等厚条纹：同一条纹反映膜的同一厚度
• 等倾条纹：同一条纹反映入射光的同一倾角

油膜干涉

已知\(n_{空气}<n_{油}<n_{水}\) ，所以两个面反射都会引入半波损失，因此不影响相差。

\[\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} 2hn_油 \]

最大光强

\[\frac{2\pi}{\lambda} 2hn_油=2k\pi \]

\[h=\frac{k\lambda}{2n_\text{油}} \]

最小光强

\[\frac{2\pi}{\lambda} 2hn_油 =(2k-1)\pi \]

\[h=\frac{(2k-1)\lambda}{4n_\text{油}} \]

• 增透膜/增反膜：在透镜表面镀一层薄膜，利用干涉原理，使反射光产生相消干涉，从而增加光的透射或反射率。

劈尖

劈尖：夹角很小的两个平面所构成的薄膜
劈尖产生的干涉条纹是等厚干涉条纹（同一条纹反映膜的同一厚度）

明纹处

\[2nh+\frac{\lambda}{2} = k\lambda \]

暗纹处

\[2nh+\frac{\lambda}{2} =(2k+1)\frac{\lambda}{2} \]

相邻两条亮纹（或暗纹）对应的厚度差

\[\Delta h = h_{k+1}-h_k = \frac{\lambda}{2n} \]

条纹间距

\[L = \frac{\Delta h}{\tan \theta} = \frac{\lambda}{2n\tan \theta} \]

• 应用
  • 测波长
  • 测微小直径/厚度
  • 检测表面质量

等倾条纹

计算 \(a_1\) 与 \(a_2\) 的光程差

\[\delta = n_2(|AB|+|BC|)-n_1|AC'|-\frac{\lambda}{2} \]

\[\delta = \frac{2n_2h}{\cos i_2}-n_1|AC|\sin i_1 - \frac{\lambda}{2} \]

\[\delta = \frac{2n_2h}{\cos i_2}-n_1h\tan i_2\sin i_1 - \frac{\lambda}{2}=\frac{2h}{\cos i_2}\big(n_2-n_1\sin i_2\sin i_1\big)-\frac\lambda2 \]

代入折射定律

• 用折射角表示

\[\delta =2h\sqrt{n_2^2-n_2^2\sin^2i_2}-\frac\lambda2=\delta=2n_2h\cos i_2-\frac\lambda2 \]

• 用入射角表示

\[\delta =2h\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i_1}-\frac\lambda2 \]

特点

• 不管从光源哪点发的光，只要入射角相同，都会聚在同一个半径为 R 的干涉环上。
• 条纹的级次内高外低
• 条纹的分布为内疏外密
• 膜厚 h 变大的过程中，中间不断有高一级条纹“冒”出来。

迈克耳逊干涉仪

利用分振幅法产生双光束干涉的仪器

当M1与M2严格垂直时，得到等倾圆条纹；当M1和M2不严格垂直时，得到等厚条纹；若间距较大时，条纹消失.

• 平面镜平移，则干涉条纹移动，若干涉条纹移过N条，则平移距离为(微小位移测量)

\[\Delta d = N \cdot \frac{\lambda}{2} \]

• 光路 1中插入介质，可以测折射率或线度，若相应移过 \(N\) 个条纹，

\[\delta = 2(n-1)l =N\lambda \]

光程

• 为方便计算光经过不同介质时引起的相差，将光在介质通过的路程按相位变化相同折合到真空中的路程。

\[相差 = \frac{2\pi}{\lambda} \times 光程差 \]

\[光程 = 折射率\times 光走过的路程 \]

光的衍射

波在传播过程中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边缘前进这种偏离直线传播的现象称为衍射现象。

惠更斯-菲涅耳原理

从同一波面上各点发出的子波，在传播到空间某一 点时，各个子波之间也可以相互叠加而产生干涉现象

分类

• 菲涅耳衍射：光源 ，障碍物，接收屏 距离为有限远。
• 夫琅和费衍射：光源 ，障碍物，接收屏 距离为无限远。

夫琅和费衍射单缝衍射

• 现象：明暗相间的平行单缝衍射条纹； 中央明纹明亮且较宽； 两侧对称分布着其它明纹

菲涅耳半波带法解释单缝衍射

作平行于 \(AC\) 的平面 \(BC=asinθ\) , 使相邻平面之间距离等于入射光的半波长 . 把 \(AB\) 波阵面分为\(AA_1\)，\(A_1A_2\)，\(A_2B\)波带。

两相邻波带对应点\(AA_1\)中A和\(A_1A_2\)中A2，到达P点位相差为\(\pi\)，光程差为/2。这样的波带就是菲涅耳半波带。

所以任何两个相邻波带所发出的光线在P点相互抵消.

• 当\(BC\)是\(\lambda/2\)的偶数倍时，所有波带相互抵消，P点暗。

\[a\sin \theta = \pm k\lambda \]

• 当\(BC\)是\(\lambda/2\)的奇数倍时，所有波带相互抵消后留下一个波带，P点明。

\[a\sin \theta = \pm(2k+1)\frac{\lambda}{2} \]

• 条纹在接收屏上的位置，使用一下近似计算

\[\sin \theta \sim \tan \theta = \frac{x}{f} \]

• 条纹宽度
  • 中央明条纹宽度：\(d = \frac{2\lambda f}{a}\)
  • 其他各级明条纹为中央亮纹宽度的一半：\(d = \frac{\lambda f}{a}\)

光强公式

用振幅矢量法可证

\[I=I_0\left(\frac{\sin\alpha}\alpha\right)^2 \]

其中

\[\alpha=\frac{\pi a\sin\theta}\lambda \]

干涉与衍射的本质

• 从本质上讲干涉和衍射都是波的相干叠加。
• 只是干涉指的是有限多的子波的相干叠加， 衍射指的是无限多的子波的相干叠加
• 干涉强调的是不同光束相互影响而形成相长或相消的现象；
• 衍射强调的是光线偏离直线而进入阴影区域。

细丝和细粒的衍射

巴比涅原理

其中一个屏的开孔部分正好对应另外一个屏的不透明部分，这样的屏就是互补屏
两个互补屏的衍射光强分布相同，具有相同衍射图像

• 因此细丝的衍射图像与单缝衍射相同，细粒与小孔衍射相同。

光学仪器的分辨率

爱里斑

第一暗环对应的衍射角，称为爱里斑的半角宽，理论计算得

\[\theta_0\approx\sin\theta_0=1.22\lambda/D \]

瑞利判据

点物 \(S_1\) 的爱里斑中心恰好与另一个点物 \(S_2\) 的爱里斑边缘（第一衍射极小） 相重合时，恰可分辨两物点。

• 最小分辨角

\[\delta\theta\:=\theta_1\approx1.22\:\frac\lambda D \]

• 分辨本领

\[R\equiv\frac1{\delta\theta}=\frac D{1.22\lambda} \]

• 分辨本领与D成正比，与波长成反比。D大，分辨本领大；波长小，分辨本领大

光栅衍射

• 光栅：光栅是由大量的等宽等间距的平行狭缝（ 或反射面）构成的光学元件。从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫作光栅。
• 光栅常数：a 是透光（或反光）部分的宽度， b是不透光（不反光）部分的宽度。光栅常数是光栅空间周期性的表示。

\[d=a+b \]

• 光栅衍射=单缝衍射+多缝干涉
• 主极大：若所有\(N\)个缝发出的光到P点都是同相的，在P点的合振幅是一条缝的\(N\)倍，光强是\(N^2\)倍，和这些明条纹相应的光强最大值为主极大，决定主极大位置的方程为光栅方程

光栅方程

• 垂直入射：相邻狭缝对应点应满足

\[(a+b)\sin \theta = d\sin \theta = \pm k\lambda \]

• 明纹位置与光栅的缝数无关，缝数增大只是使条纹亮度增大与条纹变窄；
• 光栅常数越小，条纹间隔越大.
• \(|\sin \theta| \le 1\)，\(k\) 的取值有一定的范围，故只能看到有限级的衍射条纹。

光栅的缺极

在 \(\theta\) 衍射方向上各缝间的干涉是加强的，但由于各单缝本身在这一方向上的衍射强度为零，其结果仍是零，因而该方向的明纹不出现。这种满足光栅明纹条件而实际上明纹不出现的现象，称为光栅的缺级.

同时满足这两个方程，\(k\)级主极大缺级

\[d\sin \theta = \pm k\lambda \]

\[a\sin\theta = \pm k'\lambda \]

所以

\[k=\pm\frac{d}{a}k',k'=1,2,3... \]

• \(\frac{d}{a}\) 决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数：\(\frac{\lambda}{d}\) 决定了衍射中央明纹的宽度，\(\frac{\lambda}{d}\) 决定了主极大间距。
• \(d\) 减小，主极大间距变稀， 范围内的主极大个数减少
• \(a\) 减小，单缝衍射的轮廓线变宽， 中央亮纹范围内的主极大个数增加， 缺级的级次变高。
• 当\(a\rightarrow \lambda\) 时，单缝衍射的轮廓线变为很平坦，第一暗纹距离中心无穷远处，各主极大光强几乎相同

斜入射的光栅方程

\[d(\sin \theta \pm \sin i) = \pm k \lambda,k=0,1,2,3,... \]

• 衍射光与入射光在光栅法线 同侧取正号； 衍射光与入射光在光栅法线 异侧取负号。
• 斜入射可以获得更高级次的条纹(分辨率高)

光栅光谱

\(k\)一定时，不同颜色光的波长不同， 主极大位置也不同，从而形成同一级光谱。

光栅的分辨本领

因为谱线本身是有宽度的， 为说明谱线是否重叠，引入分辨本领。

设入射波长为 \(\lambda\) 和 \(\lambda+\delta\lambda\) 时， 两谱线刚能分辨。

• 光栅的色分辨本领

\[R^2\equiv\frac\lambda{\delta\lambda}=kN \]

• 光栅的分辨本领与级次和总缝数成正比

X射线衍射

X射线特点

• 在电磁场中不发生偏转。
• 穿透力强
• 波长较短的电磁波， 范围在 0.001nm~10nm 之间。

晶体-天然光栅

晶格上的原子相当于缝，晶格常数相当光栅常数.

布喇格公式

\[2d\sin \theta = \pm k\lambda \]

光的偏振

自然光

各原子是独立地、随机地发光的。光矢量的大小、方向、初位相等等也是随机的。平均说来这种大量的振幅相同、振动方向任意、 彼此没有固定相位关系的光振动的组合叫自然光。
光是一种电磁波，是一种横波。

总光强

\[I = I_x +I_y = 2I_x = 2I_y \]

完全偏振光

线偏振光

部分偏振光

自然光和完全偏振光的混合，就构成了部分偏振光。

描写部分偏振光的偏振程度的物理量是偏振度

\[P = \frac{I_p}{I_t}=\frac{I_p}{I_n+I_p} \]

• \(I_t\)：部分偏振光的总强度
• \(I_p\)：部分偏振光中包含的完全偏振光的强度
• \(I_n\)：部分偏振光中包含的自然光的强度
• 完全偏振光（线、圆、椭圆)：\(P= 1\)
• 自然光（非偏振光）：\(P= 0\)
• 部分偏振光：\(0<P<1\)

光的偏振状态的获得

• 由介质吸收引起的光的偏振
• 由反射引起的光的偏振
• 由双折射引起的光的偏振
• 由散射引起的光的偏振

介质吸收引起的光的偏振

• 起偏的原理：利用某种光学的不对称性
• 偏振片（ Polaroid ）（获得线偏振光）
  

线偏振光的检偏

• 检偏：用偏振器件检验光的偏振态
• 设入射光可能是自然光或线偏振光 或由线偏振光与自然光混合而成的部分偏振光
  
• 在旋转检偏器的过程中：
  • 若 I 不变 → 自然光
  • 若 I 变，有消光 → 线偏振光
  • 若 I 变，无消光 → 部分偏振光

马吕斯定律

\[I = I_0\cos^2\alpha \]

由反射引起的光的偏振

• 反射光垂直入射面的分量比例大，
• 折射光平行入射面的分量比例大
• 入射角 i 变 , 反射、折射光的偏振度也变。

布儒斯特定律

\(i = i_0\) 时，反射光只有垂直线偏振分量：\(i_0\) 为布儒斯特角/起偏角。

\[\tan i_0 = \frac{n_2}{n_1}=n_{21} \]

由双折射引起的光的偏振

• 双折射：光波入射非均质体，其传播速度和折射率值随振动方向不同而改变，其折射率值不止一个； 除特殊方向以外，都要发生双折射，分解成振动方向互相垂直、传播速度不同、折射率不等的两种偏振光，此现象即为双折射。
• 一束光入射到各向异性介质时， 折射光分成两束，双折射的两束光振动方向相互垂直

晶体的光轴

• \(O\)光（寻常光）在晶体中各个方向的折射率相同，传播速度在各个方向也相同

• \(e\) 光（非寻常光）在晶体中各个方向的折射率不同，传播速度随方向的不同而改变

• 当光在晶体内沿某个特殊方向传播时不发生双折射，该方向称为晶体的光轴。

• 凡平行于此方向的直线均为光轴。

• 单轴晶体：只有一个光轴的晶体

• 双轴晶体：有两个光轴的晶体

• \(O\)光（寻常光）遵循折射定律

• \(e\) 光（非寻常光）不遵循折射定律，e光折射线也不一定在入射面内。

圆偏振光 和 椭圆偏振光

• 圆和椭圆偏振光可看成是两束频率相同、 传播方向一致、振动方向相互垂直、相位差为某个确定值的线偏振光的合成。

• 反之，线偏振光则可以看成是两束频率相同、 相位相同、振幅相同、 传播方向亦相同的左、右旋圆偏振光的合成。