物理波动知识点总结

定义

• 一定的扰动的传播称为波动

• 振动是波动的基础 ，波动是振动的传播!

• 波动是振动状态（相位）的传播，不是媒介的传播!

机械振动—机械波

弹性媒质的质元受外界扰动而发生振动时，因媒质各部分间的弹性联系，会使振动传播开去，这就形成了波动。

• 机械波产生的条件
  • 波源产生振动
  • 弹性媒质：无穷多质点通过相互之间的弹性力作用组合在一起的连续介质

横波与纵波

• 横波：质元的运动方向和扰动的传播方向垂直
• 纵波：质元的运动方向和扰动的传播方向在一条直线上

简谐波

传播的扰动形式是简谐运动的波为简谐波，复杂的波可以看成简谐波的叠加。

简谐运动传播时，各质元做简谐运动

一维平面简谐波的波函数

以机械波的横波为例，设平面波沿 \(x\)方向以速度 \(u\) 传播，媒质均匀、无限大，无吸收。

在 \(x=0\) 处振动方程为

\[y(0,t) = A\cos \omega t \]

从\(x=0\)到\(x=x_1\)处需要时间

\[\Delta t = \frac{x_1}{u} \]

所以在\(x=x_1\) 处

\[y(x_1,t) = A\cos \omega(t-\Delta t) = A\cos \omega(t-\frac{x_1}{u}) \]

所以可以写出任意位置任意时刻的一般形式的波函数

\[y(x,t) = A\cos \omega(t-\frac{x}{u}) \]

注：如果沿x轴负向传播，负号改为正号

其中 \(\varphi = \omega(t-\frac{x}{u})\) 为波的相位，通过变形得到

\[x=ut-\frac{\varphi u}\omega \]

对时间求微分

\[\frac{dx}{dt} = u \]

不难发现扰动传播的速度，也就是振动的相的传播速度，也叫相速度。

波速

• 波速为：振动状态传播的速度，振动的相的传播速度
• 波速由媒质的性质决定

波函数的周期性

\[y(x,t) = A\cos \omega(t-\frac{x}{u}) \]

时间周期性

• 对于波函数固定的 \(x\) ，其振动具有时间周期。

\[T = \frac{2\pi}{\omega},\nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} \]

空间周期性

• 对于波函数固定的 \(t\) ，其波形具有空间周期
  \[y(x+\Delta x,t) = A\cos\omega(t-\frac{x+\Delta x}u)=A\cos [\omega(t-\frac{x}{u})-\frac{\omega \Delta x}{u}] \]

当

\[\frac{\omega \Delta x}{u} = 2k\pi,k\in \mathbb Z \]

有

\[y(x+\Delta x,t) = y(x,t) \]

此时

\[\Delta x = \frac{2k\pi u}{\omega} \]

波长

• 一个周期内简谐扰动传播的距离，一个周期相传播的距离为波长

\[\lambda = \frac{2\pi u}{\omega} = uT \]

波数

• \(2π\)的长度内，含有完整波的数量为波数

\[k = \frac{2\pi}{\lambda} \]

• 波函数的形式

\[y(x,t)=A\cos\omega(t-\frac xu)\:=A\cos(\omega t-kx) \]

• 如果沿x轴负向传播，负号改为正号

振动曲线&波形曲线&波函数

振动曲线

• 当\(x\)一定时，对\(x\)点来说\(y=y(t)\)是描述\(x\)处的质点随时间的振动情况，是\(x\)的振动方程，\(y(t)\)为振动曲线
• 振动曲线是 \(y\) 关于\(t\) 的函数。
  

波形曲线

• 当\(t\)一定时，对于该时刻\(y=y(x)\)描述的是各个位置质点的位置，\(y(x)\)为波形曲线。
• 波形曲线是 \(y\) 关于 \(x\) 的函数。

转换关系

• 由某时刻的波形曲线 \(\rightarrow\) 另一时刻的波形曲线
• 某时刻的波形曲线 \(\rightarrow\) 确定某些质元的振动趋势 \(\rightarrow\) 这些质元的振动曲线
• 某质元的振动曲线 \(\rightarrow\) 某时刻的波形曲线

平面简谐波

一个平面的质元同相的沿同一方向做简谐运动，则该平面为同相面(波面)。波动为平面简谐波。传播方向的直线叫波线。

波函数和一维的相同。

波的几何描述

• 波线：表示波的传播方向的射线

• 波面：媒质振动相位相同的点组成的面（同相面）

• 按波面形状可以将波分为：平面波，球面波，柱面波

物体的弹性形变

• 固体、液体和气体，在外力下形状和体积发生变化，产生形变
• 撤销外力形状复原，外力的限度叫做弹性限度，形变叫做弹性形变

线变

• 特点：等大小、反方向外力，长度变化

• 应力：单位横截面积上所受的力

\[f = \frac{F}{S} \]

• 线应变：相对伸长量

\[\varphi =\frac{\Delta l}{l_0} \]

• 胡克定律：应力和应变成正比

\[f =E\varphi \]

\[\frac{F}{S} = E \frac{\Delta l}{l_0} \]

其中\(E\) 为杨氏模量

• 引入劲度系数

\[k = \frac{ES}{l_0} \]

\[F = k\Delta l \]

• 弹性势能

\[E_p = \frac{1}{2}k\Delta l^2 =\frac{1}{2}\frac{ES}{l_0}\Delta l^2 =\frac{1}{2} ESl_0(\frac{l}{l_0})^2 \]

• 单位体积弹性势能

\[\omega_p = E_p/V=E_p/(Sl_0)=\frac{1}{2} E(\frac{l}{l_0})^2 \]

剪切形变

• 特点：等大小、反方向外力，形状变化
  

• 剪应力

\[f = \frac{F}{S} \]

• 剪应变

\[\varphi = \frac{\Delta d}{D} \]

• 胡克定律：剪应力和剪应变成正比

\[f=G\varphi \]

\[\frac{F}{S}=G\frac{\Delta d}{D} \]

其中\(G\) 为剪切模量

• 单位体积弹性势能

\[\omega_p = \frac{1}{2}G(\frac{\Delta d}{D})^2 \]

体变

• 特点：压强改变、体积改变
• 压强改变量：\(\Delta p\)
• 体应变：\(\frac{\Delta V}{V}\)
• 胡克定律：其中\(K\)为体弹模量

\[\Delta P=-K\frac{\Delta V}{V} \]

• 单位体积内的弹性势能

\[\omega_p = \frac{1}{2}K(\frac{\Delta V}{V})^2 \]

关于不同形变的单位体积弹性势能

• 单位体积弹性势能 = 形变类型对应模量乘以应变平方的积的一半

一维简谐波的动力学方程

以弹性细棒传播的纵波为例，取棒中一小段原长为\(\Delta x\)

左端\(x\)处应变为

\[\varphi_x = \frac{\partial y}{\partial x}|_x \]

左端\(x+\Delta x\)处应变为

\[\varphi_{x+\Delta x} = \frac{\partial y}{\partial x}|_{x+\Delta x} \]

由胡克定理计算拉力

\[F_1 = EA \frac{\partial y}{\partial x}|_x \]

\[F_2=EA\frac{\partial y}{\partial x}|_{x+\Delta x} \]

合外力(正向为x轴正方向)

\[F=F_2-F_1 = EA(\frac{\partial y}{\partial x}|_x- \frac{\partial y}{\partial x}|_{x+\Delta x})=AE\frac{\partial^2y}{\partial x^2}\Bigg|_x\Delta x+O(\Delta x) \]

根据牛二

\[F=m\frac{\partial^2y}{\partial t^2}\Bigg|_x= \rho V\frac{\partial^2y}{\partial t^2}\Bigg|_x= \rho A\Delta x\frac{\partial^2y}{\partial t^2}\Bigg|_x \]

所以

\[AE\frac{\partial^2y}{\partial x^2}\Bigg|_x\Delta x=\rho A\Delta x\frac{\partial^2y}{\partial t^2}\Bigg|_x \]

化简得到波动方程

\[\frac{\partial^2y}{\partial x^2} = \frac{1}{u^2} \frac{\partial^2y}{\partial t^2} \]

其中\(u\)为波速

\[u=\sqrt\frac E\rho \]

波速与模量密度的关系

• 对于横波来说，质元发生剪切形变

\[\frac FS=G\frac{dy}{dx}\Rightarrow F=SG\frac{dy}{dx} \]

\[a =\frac{F}{dm} = \frac{SGdy}{dmdx}=\frac{SGdy}{\rho Sudtdx}=\frac{Gdy}{\rho udxdt} \]

由于

\[dx = udt \]

\[a=\frac{Gdy}{\rho u^2(dt)^2} \]

\[l=a\frac{\Delta t^2}{2} \Rightarrow a=\frac{2l}{\Delta t^2}=\frac{dy}{(dt)^2} \]

对比得

\[u=\sqrt{\frac{G}{\rho}} \]

波的能量

纵波

取一小段质元，其速度

\[v=\frac{\partial y}{\partial t}=-\omega A\sin(\omega t-kx+\varphi) \]

动能

\[\Delta W_k=\frac12\Delta m(\frac{\partial y}{\partial t})^2=\frac12\rho\Delta V\omega^2A^2\sin^2(\omega t-kx+\varphi) \]

其应变

\[\frac{\partial y}{\partial x}=-kA\sin(\omega t-kx+\varphi) \]

弹性势能

\[\Delta W_p=\frac12ES(\frac{\partial y}{\partial x})^2\Delta x=\frac12E\Delta Vk^2A^2\sin^2(\omega t-kx+\varphi) \]

根据\(k=\frac{2\pi}{\lambda} =\frac{2\pi}{uT} = \frac{\omega}{u}\)，\(u=\sqrt\frac{E}{\rho}\)

\[\Delta W_p=\frac{1}{2}\rho\Delta V\omega^2A^2\sin^2(\omega t-kx+\varphi)=\Delta W_k \]

横波

取一小段质元，同理可得

\[\Delta W_p=\frac12\rho\Delta V\omega^2A^2\sin^2(\omega t-kx+\varphi)=\Delta W_k \]

结论

\[\begin{aligned}\Delta W&=\Delta W_k+\Delta W_p=\Delta m\omega^2A^2\sin^2(\omega t-kx+\varphi)\\&=\frac{\Delta m\omega^2A^2}2[1-\cos2(\omega t-kx+\varphi)]\end{aligned} \]

• 每一质元\(\Delta m\)的总能量是时间和位置的函数.能量也以速度 \(u\) 随波一起传播.
• 质元\(\Delta m\)的动能和势能同相变化，而且始终具有相同数值，质元在平衡位置时，具有最大能量；
• 波是能量传播的一种形式
• 简谐波能量不守恒。整个周期，介质不积累能量，而是传播能量。

能量密度

• 单位体积内的能量

\[w=\frac{\Delta W}{\Delta V}=\rho\omega^2A^2\sin^2(\omega t-kx+\varphi) \]

平均能量密度

• 一个周期内能量密度的平均值

\[\overline{w}=\frac12\rho\omega^2A^2=2\pi^2\rho\nu^2A^2 \]

波的强度

• 单位时间通过垂直传播方向的单位截面上的能量(平均能流密度)

\[dV=udtdS \]

\[dW=\overline{w}udtdS \]

\[\\I=\frac{dW}{dtdS}=\overline{w}u=\frac{1}{2}\rho\omega^{2}A^{2}u \]

惠更斯原理

媒质中任意波面上的各点，都可看作是发射子波（次级波）的波源（点源），其后的任一时刻，这些子波面的包络面（包迹）就是 波在该时刻的新的波面。

通过惠更斯原理，可以从已知 \(t\) 时刻的波面推出 \(t+\Delta t\) 时刻的波面，从而可进一步给出波的传播方向

波的衍射

• 定义：波传播过程中，当遇到障碍物时， 能绕过障碍物边缘而偏离直线传播的现象。

• 相对于波长而言， 障碍物的线度越大衍射现象越不明显，障碍物的线度越小衍射现象越明显。

波的反射

• 使用惠更斯作图推导
  

图中\(AM = PC=u\Delta t\)，通过直角三角形\(HL\)全等不难得到证明。

• 结论：入射角等于反射角

波的折射

• 使用惠更斯原理证明折射定律
  

\(t\) 时刻

\[|A_3B_3|=u_1\Delta t = |AB_3|\sin i \]

\(t+\Delta t\) 时刻

\[|AB|=u_2\Delta t=|AB_3|\sin r \]

\[\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{|A_3B_3|}{|AB|}=\frac{u_1}{u_2}=\frac{n_2}{n_1} \]

• 折射定律

\[\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{n_2}{n_1} \]

• 临界角：光从光密介质到光疏介质时，折射角大于入射角当折射角达到\(90°\)时发生全反射（无折射），此时入射角为临界角

\[\sin i_c = \frac{n_2}{n_1} \]

波的叠加原理

几列波可以保持各自的特点 （方向、振幅、波长、频率） 同时通过同一媒质（波传播的独立性）， 在它们相遇处，质元的位移为各波单独在该处产生位移的合成。

波的干涉

• 定义：波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布叫波的干涉。

相干条件

• 频率相同
• 振动方向相同
• 有固定的相位差。

驻波&行波

• 能够传播的波叫行波
• 驻波波形不向前传播，而是在空间中固定地振动。

驻波的形成

两列相干的行波（频率、振动方向、振幅相同）沿相反方向传播而叠加时，就形成驻波， 它是一种常见的重要干涉现象

假设有两个传播方向相反的波

\[y_1 = A\cos(\omega t-kx) \]

\[y_2 = A\cos(\omega t+kx) \]

利用和差化积

\[y=y_1+y_2=2A\cos(\omega t)cos(kx) \]

振幅

\[A' = |2A\cos(kx)| \]

各点都做简谐振动，振幅随位置不同而不同。

驻波的特点

• 振幅各处不等大，出现了波腹（振幅最大处 \(2A\)）和波节（振幅最小处 \(0\)）。
• 相邻波节间距为\(\lambda/2\)，测波节间距可得行波波长。
• 没有 x 坐标， 故没有了相位的传播。 驻波不是波，是一种特殊的振动。驻波是分段的振动。
• 同一段振动相位相同；相邻段振动相位相反.
• 合能流密度\(\overline{w}(u)+\overline{w}(-u)=0\)，平均上没有能量的传播。但各质元间仍有能量的交换。
• 质元从位移最大处开始振动时，能量由两端向中间传，势能 \(\rightarrow\) 动能。（应变减小）
• 质元经过平衡位置时，势能为0（无应变），动能最大
• 质元通过平衡位置振动时，能量由中间向两端传，动能 \(\rightarrow\) 势能。（应变增大）
• 振幅与时间无关，随位置变化。
• 波腹处

\[|\cos kx|=1\Rightarrow 2\pi\frac x\lambda=\pm k\pi \Rightarrow x=\pm\frac{k\lambda}{2} \]

• 波节处

\[|\cos kx|=0\Rightarrow 2\pi\frac x\lambda=\pm (k+\frac{1}{2})\pi \Rightarrow x=\pm\frac{\lambda}{2}(k+\frac{1}{2}) \]

• 相邻波腹驱离=相邻波节距离=\(\lambda/2\)

半波损失

半波损失是指当波在反射时，反射波相对于入射波产生了 π 弧度的相位变化。

\[\Delta \phi = \pi \]

产生条件

• 半波损失取决于反射面两侧介质的波阻抗（或密度）差异。
• 从波疏介质到波密介质的反射面会产生半波损失，反之不会。

特性阻抗

\[z = \rho u \]

相对而言，阻抗大的为波密介质，阻抗小的为波疏介质。

简正模式

波在一定边界内传播时就会形成各种驻波。 两个固定边境必须是波节。
每种可能的稳定振动方式称作系统的一个简正模式。

• 每个简正模式就是系统的一个特征解（eigenmode）
• 其频率 \(\omega_n\)​ 是系统的特征频率（eigenfrequency）
• 任意复杂振动都可以写成这些模式的线性叠加(傅里叶展开的物理基础)

声波

• 在弹性介质中传播的机械纵波，一般统称为声波。
• 频率范围：\(20\to 20000Hz\)

声压

\[p=-K\frac{\Delta V}V=-K\frac{\partial y}{\partial x}=-K\frac{\omega}{u}A\sin\omega(t-\frac xu)=-\rho\omega uA\sin\omega(t-\frac xu) \]

无声波时的静压力为\(p_0\)，稀疏区域\(\Delta p = p1-p0<0\)，声压为负；稠密区域\(\Delta p=p2-p0>0\)，声压为正。

• 声压振幅

\[p_m = \rho \omega uA \]

• 质元振幅

\[A = \frac{p_m}{\rho \omega u} \]

声强

声波的平均能流密度叫声强。

\[I=\frac{1}{2}\rho\omega^{2}A^{2}u=\frac{p_m^2}{2\rho u} \]

声级公式

\[L = 10\log \frac{I}{I_0} \]

• 声级\(L\)：单位\(dB\)
• \(I_0=10^{-12}\:\:W/m^2\)

多普勒效应

波源和观察者有相对运动时，观察者接受到波的频率与波源发出的频率并不相同的现象

观察者动波源不动

观察者速度\(v_r\not =0\)，波源速度\(v_s=0\)，传播过程波的频率\(\nu\)，波速\(u\)

• 此时\(\nu=\nu_S\)

\[\nu_R = \frac{u+v_R}{\lambda}=\frac{u+v_R}{u}\nu_s \]

• 靠近波源时 \(v_R>0\) ，\(\nu_R > \nu_S\)，远离则 \(v_R < 0\)，\(\nu_R < \nu_S\)

观察者不动波源动

观察者速度\(v_R=0\)，波源速度\(v_s\not=0\)，传播过程波的频率\(\nu\)，波速\(u\)

此时\(\nu = \nu_R\)

\[\nu = \nu_R = \frac{u}{\lambda}=\frac{u}{(u-v_S)T_S}=\frac{u}{u-v_S}\nu_S \]

两者都动时

\[\nu_S\neq\nu\neq\nu_R \]

\[\nu_{\mathrm{R}}=\frac{u+\mathrm{v}_{\mathrm{R}}}{u}\nu=\frac{u+\mathrm{v}_{\mathrm{R}}}{u}\cdot\frac{u}{u-\mathrm{v}_{\mathrm{S}}}\nu_{\mathrm{S}}=\frac{u+\mathrm{v}_{\mathrm{R}}}{u-\mathrm{v}_{\mathrm{S}}}\nu_{\mathrm{S}} \]

• 即：接收者接收到的频率看作是接收者动波源不动（将波源看作传播介质），传播过程中的频率实际上是相当于波源动接收者不动（将接收者看作传播介质）。

激波

当\(v_S > u\) 时，波源的速度达到超声速。后发出的波面将超越先发出的波面， 形成锥形波阵面。

\[\sin \alpha = \frac{u}{v_s} \]

其中\(\frac{v_s}{u}\) 称为马赫数。