- 递归式线段树，无论是建树、修改还是查询，都是自顶向下的。
- zkw线段树是非递归线段树，正好反过来，即自底向上。具体来说，就是先把线段树填充成满二叉树（堆式存储），之后就可以直接找到叶节点，然后回溯上去了
- 满二叉树有很好的性质：设一共有\(n\)个叶子节点，
- 若某叶子节点退化的线段为\([x,x]\)，则其编号为\(x+n\)
- 整棵树一共有\(2n-1\)个节点
- 一共有\(H=\log_2n+1\)层，第\(i\)层有\(2^{i-1}\)个节点。且该层线段长度为\(2^{H-h}\)
- 若某节点编号为\(p\)，其左右孩子为\(2p,2p+1\)，其父亲为\(\lfloor p/2\rfloor\)
- 若两兄弟节点编号为\(p,q\)，则\(p\oplus q=1\)
- 除根结点外，编号为偶数的节点都是某个节点的左节点，编号为奇数的节点都是某个节点的右节点。
建树
- \(n\)为原数组长度，\(N\)为满二叉树叶子数量。
- 要构建出这样一棵满二叉树，需要让\(N\)是 \(2\) 的整数幂。
- \(N=2^{\lceil\log_2{(n+1)}\rceil}\)，为了确保树深足够、且编号不越界。因为有时会访问到
r+1、l-1 等边界编号。
#define ll long long
struct segTree
{
ll n,N;
vector<ll> d;
void build(ll n) {
this->n = n;
N=1;
while(N<=n+1) N<<=1;
d.resize(N<<1);
mark.resize(N<<1);
// 初始化叶子节点
for(int i=1;i<=n;i++) {
d[i+N]=a[i];
}
// 初始化中间节点
for(int i=N-1;i>=1;--i) {
d[i] = d[i<<1] + d[i<<1|1];
}
}
}
单点修改
void update(int x,int k) {
// 从叶子节点向上传递更新
for(x+=N;x;x>>=1) {
tree[x]+=k;
}
}
单点修改下的区间查询
- 在区间左端点-1和右端点+1的位置放两个指针
l,r
- 接着不断将
l,r移动到对应节点的父节点处，直到l,r指向的节点的父节点相同时停止.
- 在这期间，如果：
s指向的节点是左儿子，那么ans += 其右兄弟的值t指向的节点是右儿子，那么ans += 其左兄弟的值
ll query(int l,int r) {
ll ans=0;
//s ^ r ^ 1就是判断对应节点的父节点是否相同
//当对应节点互为左右儿子时，s^t = 1，再^1之后就是0
for(l+=N-1,r+=N+1;l^r^1;l>>=1,r>>=1) {
//指向的节点是左儿子，那么ans += 其右兄弟的值
if(~l & 1) ans += d[l^1];
//指向的节点是右儿子，那么ans += 其左兄弟的值
if(r & 1) ans += d[r^1];
}
return ans;
}
区间修改+区间查询
- 递归式线段树懒标记思想：延迟更新，等真正访问时再下传懒标记。
- 非递归线段树永久化标记：标记一旦加在某个节点，就「永久存在」，不下传标记，而在查询时按路径逐层累加。
- 即：修改时只记录增量，不传播；查询时动态加上路径上累积的标记。
区间修改
- 当左端点是左儿子/右端点是右儿子时，我们对它的兄弟进行修改并打上标记
- 因为上述修改还会波及到这些节点的各级祖先。所以我们需要在途中根据实际修改的区间长度来更新各级祖先的值，而且这种操作需要一路上推到根节点。
- 因此需要辅助变量
int len = 1; // 当前层每个节点所代表区间长度
int cntl = 0, cntr = 0; // 记录左端和右端已覆盖长度
void update(int l,int r,int k) {
int len=1,cntl=0,cntr=0;
//更新tree
for(l+=N-1,r+=N+1;l^r^1;l>>=1,r>>=1,len<<=1) {
// 每次向上走一层时，把覆盖的部分值累加到父节点；
d[l]+= cntl*k,d[r]+=cntr*k;
// 处理标记和中间需要更新的节点
if(~l&1) d[l^1]+= len*k,mark[l^1]+=k,cntl+=len;
if(r&1) d[r^1]+= len*k,mark[r^1]+=k,cntr+=len;
}
//更新上层tree
for(;l;l>>=1,r>>=1) {
d[l]+=cntl*k,d[r]+=cntr*k;
}
}
区间查询
- 在有区间修改存在时，区间查询也需要考虑标记的影响。
- 所以除了加上端点的兄弟节点的信息，沿途中遇到的标记也对答案有相应的贡献， 依赖于实际查询的区间长度，这同样也需要上推到根节点。
ll query(int l,int r) {
int len=1,cntl=0,cntr=0;
ll ans=0;
for(l+=N-1,r+=N+1;l^r^1;l>>=1,r>>=1,len<<=1) {
ans += cntl *mark[l] + cntr*mark[r];
if(~l & 1) ans+=d[l^1],cntl+=len;
if(r & 1) ans+=d[r^1],cntr+=len;
}
for(;l;l>>=1,r>>=1) {
ans+=cntl*mark[l]+cntr*mark[r];
}
return ans;
}
例题
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define int long long
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);
#define endl '\n'
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll infll = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double PI = acos(-1.0);
using namespace std;
//ifstream fin("input.txt");
//ofstream fout("output.txt");
//#define cin fin
//#define cout fout
const int MAXN = 1e5+5;
ll a[MAXN];
int n,m;
struct segTree
{
ll n,N;
vector<ll> d;
vector<ll> mark;
void build(ll n) {
this->n = n;
N=1;
while(N<=n+1) N<<=1;
d.resize(N<<1);
mark.resize(N<<1);
for(int i=1;i<=n;i++) {
d[i+N]=a[i];
}
for(int i=N-1;i>=1;--i) {
d[i] = d[i<<1] + d[i<<1|1];
}
}
ll query(int l,int r) {
ll ans=0;
int len=1,cntl=0,cntr=0;
for(l+=N-1,r+=N+1;l^r^1;l>>=1,r>>=1,len<<=1) {
//根据标记更新
ans += cntl*mark[l] + cntr*mark[r];
if(~l & 1) ans += d[l^1],cntl+=len; // 左端点是左儿子
if(r & 1) ans += d[r^1],cntr+=len; // 右端点是右儿子
}
//处理上层标记
for(;l;l>>=1,r>>=1) {
ans += cntl*mark[l] + cntr*mark[r];
}
return ans;
}
void update(int l,int r,ll c) {
int len=1,cntl=0,cntr=0;
for(l+=N-1,r+=N+1;l^r^1;l>>=1,r>>=1,len<<=1) {
d[l]+= cntl*c ,d[r]+= cntr*c;
//每次向上走一层时，把覆盖的部分值累加到父节点；
// mark 表示该节点被整体加了多少；
if(~l & 1) d[l^1] += c*len , mark[l^1]+=c ,cntl+=len;
if(r & 1) d[r^1] += c*len, mark[r^1]+=c , cntr+=len;
}
for(;l;l>>=1,r>>=1) {
d[l] += cntl * c;
d[r] += cntr * c;
}
}
} tree;
signed main()
{
IOS
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
}
tree.build(n);
while(m--) {
int op;cin>>op;
if(op==1) {
int x,y,k;cin>>x>>y>>k;
tree.update(x,y,k);
}
else if(op==2) {
int x,y;cin>>x>>y;
cout<<tree.query(x,y)<<endl;
}
}
//fin.close(),fout.close();
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号