侠义相对论

牛顿相对性原理

• 一切力学规律在不同的惯性系中应有相同的形式。无法说谁是绝对静止的。
• 长度和时间的量度与参考系无关 ------绝对时空观
• 伽利略变换(\(S'\)系相对于与\(S\)沿x轴以速度\(u\)运动)

\[\begin{cases}x'=x-ut\\y'=y\\z'=z\\t'=t\end{cases} \]

• 伽利略速度变换

\[\begin{cases} v_x' = v_x - u\\ v_y'=v_y\\v_z'=v_z\\\end{cases} \]

爱因斯坦相对性原理

• 爱因斯坦相对性原理：物理规律对所有惯性系都是一样的。
• 光速不变原理：任何惯性系中，真空中光的速率都为 \(c\) 。

同时性的相对性

• 沿两个惯性系相对运动方向发生的两个事件，在一个惯性系中表现为同时的，在另一惯性系中观察，总是在前一惯性系运动的后方的那一事件先发生。
• 时间的测量是相对的。
• 由于$$\Delta t^{\prime}=\gamma(\Delta t-\frac\beta c\Delta x)$$
  当\(\Delta t = 0\)，若\(\Delta x = 0\)，\(\Delta t' = 0\)，否则\(\Delta t \not = 0\)，说明时间的测量是相对的

时间延缓

• 在不同参考系下，时间的测量是相对的。
• 固有时：在某一参考系中，同一地点先后发生的两个事件的时间间隔
• 固有时最短
• 由于

\[\Delta t'=\gamma(\Delta t-\frac\beta c\Delta x)，\Delta x = 0 \]

故$$\Delta t' = \gamma \Delta t$$

长度收缩

• 在不同的惯性参照系内，对长度的测量也是相对的。
• 固有长度：在与被测物体相对静止的参照系内测得的物体长度。
• 在与被测物体相对运动的参照系内，物体的长度总是小于物体的原长。

\[l=l_0\sqrt{1-v^2/c^2} = \frac{1}{\gamma}l_0\le l_0 \]

• 注：
  • 对运动的物体，其长度收缩只出现在运动方向。
  • 同一物体速度不同，测量的长度不同。物体静止时长度测量值最大。
  • 低速空间相对论效应可忽略。
  • 长度收缩是相对的，\(S\)系看\(S’\)系中的物体收缩，反之，\(S’\)系看\(S\)系中的物体也收缩

洛伦兹变换

• 寻找适合光速不变原理的新的时空变换。
• 重要常量$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c2}}}$$

\[\beta = \frac{u}{c} \]

\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \]

• 洛伦兹变换

\[\begin{cases} &x^{\prime}=\frac{x-ut}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\\ &y^{\prime}=y\\ &z^{\prime}=z\\ &t^{\prime}=\frac{t-\frac u{c^2}x}{\sqrt{1-\frac u{c^2}}}\end{cases}\]

\[\begin{aligned}&\begin{cases}x'=\gamma(x-ut)\\y'=y\\z'=z\\t'=\gamma(t-\frac\beta cx)\end{cases}\end{aligned} \]

• 洛伦兹逆变换

\[\begin{aligned}&\begin{cases}x=\gamma(x^{\prime}+ut^{\prime})\\y=y'\\z=z'\\t=\gamma(t'+\frac\beta cx)\end{cases}\end{aligned} \]

• 注：
  • \(c\)为一切可作为参考系的物体的极限速率，即两个物体之间的相对速度只能小于\(c\)
  • \(u << c\)时，洛仑兹变换过渡到伽里略变换。

相对论速度变换

• 由洛伦兹变换,可以得到相对论速度变换$$\frac{\mathbf{d}x^{{\prime}}{\mathbf{d}t}=\frac{\boldsymbol{\upsilon}_x-\boldsymbol{u}}{\sqrt{1-\frac{u}2}{c^2}}}$$

\[\frac{\mathbf{d}t^{\prime}}{\mathbf{d}t}=\frac{1-\frac u{c^2}\boldsymbol{v}_x}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \]

\[v_x' = \frac{dx'}{dt}/\frac{dt'}{dt} = \frac{dx^{\prime}}{dt^{\prime}}=\frac{{v}_x-u}{1-\frac u{c^2}{v}_x} \]

\[v_y' = \frac{\mathbf{d}y^{\prime}}{\mathbf{d}t^{\prime}}=\frac{\mathbf{d}y}{\mathbf{d}t^{\prime}}=\frac{\frac{\mathbf{d}y}{\mathbf{d}t^{\prime}}}{\frac{\mathbf{d}t^{\prime}}{\mathbf{d}t}} = \frac{v_y}{1-\frac u{c^2}v_x}\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}} \]

\[\boldsymbol{\upsilon}_z^{\prime}=\frac{\boldsymbol{\upsilon}_z}{\boldsymbol{1}-\frac u{c^2}\boldsymbol{\upsilon}_x}\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}} \]

• 逆变换

\[v_x=\frac{{v}_x'+u}{1+\frac u{c^2}{v}'_x} \]

\[v_y = \frac{v_y'}{1+\frac u{c^2}v_x'}\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}} \]

\[v_z = \frac{v_z'}{1+\frac u{c^2}v_x'}\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}} \]

• 注：
  • 若\(u << c\)，则洛仑兹速度变换过渡到伽里略速度变换
  • 不可能通过参考系变换达到超光速。
• 一维运动情况：\(v_x = v,v_y = 0,v_z = 0\)，则\(v_x' = v',v_y' = 0,v_z' = 0\)

\[{\upsilon}^{\prime}=\frac{{\upsilon}-u}{{1}-\frac{{u}{\upsilon}}{{c}^2}} \]

\[{\upsilon}=\frac{{\upsilon}'+u}{{1}+\frac{{u}{\upsilon}'}{{c}^2}} \]

• 不可将速度的合成分解与速度的变换相混淆.

相对论质量与相对论动量

• 在高速情况下，牛顿第二定律不再成立。
• 静止质量：质点静止时的质量。是一个不变的量。
• 相对论质量：相对论质量与速度有关。（速率是质点相对于相关参考系的速率，不是两个参考系之间的速率）

\[m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} = \gamma m_0 \]

• 相对论动量

\[\vec p = m\vec v = \gamma m_0\vec v =\frac{m_0\vec v}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \]

且$$\vec F = \frac{d\vec p}{dt} = \frac{d}{dt}(mv)$$

相对论动能

• 相对论中仍然保留动能定理.且\(m = m(v)\)

\[dE_k = \vec F \cdot d\vec r = \frac{d(m\vec v)}{dt}d\vec r= d(m\vec v)\cdot \vec v = (md\vec v + \vec v dm)\cdot \vec v =m\vec v\cdot d\vec v+v^2 dm \]

\[m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\Rightarrow m^2c^2-m^2v^2 \]

\[\Rightarrow2mc^2dm-2mv^2dm-2m^2vdv=0 \]

\[mv\operatorname{d}v=c^2\operatorname{d}m-v^2\operatorname{d}m$$所以$$\begin{cases}mv\operatorname{d}\boldsymbol{v}=c^2\operatorname{d}m-\boldsymbol{v}^2\operatorname{d}m\\dE_K=m\operatorname{v}\operatorname{d}v+v^2\operatorname{d}\boldsymbol{m}&\end{cases}$$$$\mathbf{d}E_k=c^2\operatorname{d}m \]

\[E_k=\int_{m_0}^mc^2\operatorname{d}m=mc^2-m_0c^2 \]

相对论能量

\[E_k = mc^2 - m_0c^2 \]

• 静止能量：\(E_0 = m_0c^2\)
• 总能量：\(mc^2 = E_k + m_0c^2\)，

\[E=mc^2 \]

• 相对论统一了质量和能量守恒, 这里的质量是相对论质量，而非静止质量.
• 质量亏损：
  • 对于孤立系统能量守恒\(\Delta E = \Delta E_k + \Delta(m_0c^2) = 0\)
  • 所以$$\Delta E_k = -(\Delta m_0)c^2$$
  • \(-\left(\Delta m_0\right)\)称为静质量亏损。为简便起见将质量亏损就用\(\Delta m\) 表示

  • \[\Delta E = \Delta m_0 c^2 \]

相对论动量和能量关系

\[\begin{aligned}&E=mc^2\\&m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\Bigg\}\quad\boxed{E^2=p^2c^2+m_0^2c^4}\\&p=mv\end{aligned} \]