刚体的定轴转动

刚体

• 不能变形的物体称为刚体
• 刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。

刚体运动形式

• 平动：连接刚体内任意两点的直线在运动各个时刻的位置都彼此平行。刚体做平动时，刚体内各质元的运动轨迹都一样，而且同一时刻的速度和加速度都相同。可用质心或其上任何一点的运动来代表整体的运动。
• 转动：
  • 定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。
  • 定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
• 一般运动：
  • 刚体不受任何限制的的任意运动。它可分解为以下两种刚体的基本运动：随基点O（可任选）的平动，绕通过基点O的瞬时轴的定点转动
• 转动与基点的选取无关

定轴转动的描述

• 刚体绕某一固定转轴转动时，各质元的线速度和加速度是不同的。但是角量(角速度，角加速度)都是一样的
• 角速度\(\vec \omega = \frac{d\theta}{dt}\)
• 角加速度\(\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2}\)
• 线速度与角速度\(v=r\omega\)
• 切向加速度\(a_t = r\alpha\)
• 向心加速度\(a_n = r\omega^2\)
• 匀加速转动公式:
  • \(\omega = \omega_0 +\alpha t\)
  • \(\theta = \omega_0 t+\frac{1}{2}\alpha t^2\)
  • \(\omega^2 - \omega_0^2 = 2\alpha\theta\)

转动定律

• 把刚体看作无限多质元构成的质点系

\[M = \frac{dL}{dt} \]

\[L=\sum L_i=\sum \Delta m_ir_{i{\bot}}v_i = (\sum \Delta m_ir_{i\bot}^2)\omega \]

• 定义:转动惯量$$J = \sum \Delta mr^2$$
  则有

\[L = J\omega \]

\[M_{外} = \frac{dL}{dt} = J\frac{d\omega}{dt}=J\alpha \]

• 转动定律

\[M = J\alpha \]

• 类比牛二定律

\[F=ma \]

转动惯量的计算

• 质点系：

\[J = \sum \Delta m_i r_i^2 \]

• 连续体：

\[J = \int r^2 dm \]

• \(r\)为质元\(dm\)到转轴的垂直距离

平行轴定理

\[J_{z'} = J_{z_c}+ML^2 \]

• \(J_{z'}\)以平行z轴的直线为轴的转动惯量，\(J_{z_c}\)为过质点的平行z轴的转动惯量，\(M\)为刚体质量，\(L\)为两平行轴之间的距离

常见转动惯量

刚体形状	轴的位置	转动惯量
细杆	通过一端垂直于杆	\(\frac{1}{3}mL^2\)
细杆	通过中心垂直于杆	\(\frac{1}{12}mL^2\)
薄圆环	通过环心垂直于环面	\(mR^2\)
圆盘	通过盘心垂直于盘面	\(\frac{1}{2}mR^2\)
薄球壳	直径	\(\frac{2}{3}mR^2\)
球体	直径	\(\frac{2}{5}mR^2\)

刚体的角动量与角动量守恒

• 刚体绕定轴转动的角动量

\[L = J\omega \]

\[M = J\frac{d\omega}{dt} =\frac{dL}{dt} \]

• 刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率
• 角动量守恒：
  • 当外力矩\(M=0\)时，刚体绕定轴转动的角动量不变

转动的功与能

• 转功：力矩对其转过角度的积累。

\[dA = \vec F\cdot d\vec r = F_t|d\vec r| = F_trd\theta \]

\[M=F_tr，dA = Md\theta \]

\[A = \int_{\theta_1}^{\theta_2}M d\theta \]

• 转动动能定理：定义转动动能\(E_k = \frac{1}{2}J\omega^2\)

\[A = \int_{\theta_1}^{\theta_2}M d\theta = \int_{\theta_1}^{\theta_2}J\frac{d\omega}{dt} d\theta=\int_{\omega_1}^{\omega_2}J\omega d\omega = \frac{1}{2}J\omega_2^2-\frac{1}{2}J\omega_1^2 = E_{kB}-E_{kA} \]

• 转动动能定理：合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体做的功等于其转动动能的增量。

刚体的重力势能

• 刚体的重力势能等于全部质量集中在质心的重力势能

\[E_p = \sum \Delta m_igh_i = mg\sum\frac{m_ih_i}{m}=mgh_c \]

刚体的机械能守恒

• 对于刚体系统，如果在运动过程中，只有保守内力做功，则该系统的机械能守恒