动量与角动量

动量与冲量

• 力在时间上的积累效应。
• 定义冲量\(\vec p = m \vec v\)，根据牛二定律有\(\vec F dt = d\vec p\)，即动量定理。
• 把\(\vec Fdt\)叫做在\(dt\)时间内致电所受合外力的冲量，用\(I\)表示
• 动量定理积分形式\(\vec I=\int_{t_0}^{t_1}\vec Fdt = \int_{p_0}^{p_1}d\vec p = \vec p_1 - \vec p_0\)

动量守恒定律

对于\(n\)个质点组成的系统，任意两个质点之间存在作用力和反作用力且\(\vec f+\vec f' = 0\)，若每个质点还受到外力作用，对每一个质点有（\(\vec F_i\)表示第\(i\)个质点受到的合外力）

\[(\vec F_i +\sum_{j\not = i} \vec f_{ji} )dt = d\vec p_i \]

于是，

\[\sum_i(\vec F_i +\sum_{j\not = i} \vec f_{ji} )dt = \sum_i d\vec p_i \]

\[(\sum_i \vec F_i )dt = \sum_i d\vec p_i = d(\sum_i \vec p_i) \]

其中\((\sum_i \vec F_i )\)为系统的合外力，\(d(\sum_i \vec p_i)\)为系统的总动量。这里都是矢量和。

• 动量守恒定律：
  • 当一个质点系所受合外力为零时，系统的总动量为常矢量。即总动量保持不变
  • 动量守恒定律只适用于惯性系(从牛顿公式推出)
  • 动量守恒定律可以用于分量式，即在某个方向上满足动量守恒定律。

应用：火箭飞行原理

• 设火箭不受任何外力影响，\(t\)时刻，火箭体和尚存的燃料总质量为\(M\)，\(v\)为此时火箭的速率，则系统总动量为\(Mv\).
• 经过\(dt\)时间后，火箭喷出\(dm\)质量的气体，喷出速率相对于火箭为定值\(u\).在\(t+dt\)时刻，火箭速度为\(v+dv\)。
• 此时，系统总动量为\((M-dm)(v+dv)+dm(v-u)\),且\(dm = -dM\),
• \((M+dM)(v+dv) -dM(v-u) = Mv\)，展开，忽略二阶小量，得
• \(Mdv +udM = 0\), \(dv =- \frac{udM}{M}\)

\[\int_{v_0}^{v_1}dv = -u\int_{M_0}^{M_1}\frac{dM}{M} \]

\[v_1-v_0 = -uln\frac{M_1}{M_0}=uln\frac{M_0}{M_1} \]

• 设气体推力大小为\(F\)，\(Fdt=(M-dm)[(v+dv)-v]=Mdv = -udM = udm\)，所以\(F = \frac{dm}{dt}u\)

质心

• 在研究质点系运动时，引入质心的概念。
• 若一个质点系由\(n\)个质点组成，\(m_i\)为各质点质量，\(\vec r_i\)为各质点位矢，对质心而言

\[\vec r_c = \frac{\sum_im_i\vec r_i}{\sum_i m_i}=\frac{\sum_im_i\vec r_i}{m} \]

• 质心相对于质点系内各质点的相对位置不会随坐标系的变化而变化。
• 直角坐标系下三个分量表达式

\[\left\{\begin{matrix} x_c = \frac{\sum_i m_ix_i}{m} \\y_c = \frac{\sum_i m_iy_i}{m} \\z_c = \frac{\sum_i m_iz_i}{m} \end{matrix}\right.\]

• 如果是连续物体，可以认为是由许多质元组成的，\(dm\)为质量，位矢为\(\vec r\)，则

\[\vec r_c = \int \frac{\vec r dm}{m} \]

\[\left\{\begin{matrix} x_c = \int \frac{ xdm}{m} \\y_c = \int \frac{ydm}{m} \\z_c = \int \frac{zdm}{m} \end{matrix}\right.\]

质心运动定理

\[\vec v_c = \frac{d\vec r_c}{dt} =\frac{\sum_im_i\frac{\vec dr_i}{dt}}{\sum_i m_i}=\frac{\sum_im_i\vec v_i}{m} \]

\[m\vec v_c = \sum_i m_i\vec v_i \]

\[\vec p_c = \sum_i \vec p_i =\vec p = m\vec v_c \]

• 质点系的总动量等于总质量与之心速度的乘积，也称质心的动量\(\vec p_c\)
• 所以有质心运动定理：

\[\vec F =\frac{d\vec p}{dt} = m\frac{d\vec v_c}{dt} = m\vec a_c \]

• 动量守恒定律的另一种等价表述：质点系所受合外力为0时，其质心的速度保持不变。

质点的角动量

力矩

• 力\(\vec F\)对参考点\(O\)的力矩\(\vec M\)定义为从参考点\(O\)到力的作用点\(P\)的径矢\(\vec r\)和该力的矢量积

\[\vec M = \vec r \times \vec F \]

• 力矩的大小如下。其中\(\theta\)为\(\vec F\)与\(\vec r\)的夹角

\[|\vec M| = rFsin\theta \]

• 方向垂直于径矢和力确定的平面，指向由右手螺旋法则确定
• 力矩的量纲：\(N\cdot m\)

角动量

\[\vec M = \vec r\times \vec F = \vec r \times\frac{d\vec p}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec r\times \vec p) - \frac{d\vec r}{dt}\times \vec p \]

由于\(\vec v = \frac{d\vec r}{dt}\)，\(\vec p =m\vec v\)，\(\frac{d\vec r}{dt}\times d\vec p =0\)

\[\vec M = \frac{d}{dt}(\vec r\times \vec p) \]

记角动量\(\vec L = \vec r\times \vec p\)，

\[\vec M = \frac{d \vec L}{dt} \]

• 质点的角动量定理：质点所受的合外力矩等于其角动量对时间的变化率
• 角动量大小如下计算，方向有右手螺旋法则确定

\[L = rmvsin\varphi \]

角动量守恒定律

由于，

\[\vec M = \frac{d\vec L}{dt} \]

• 角动量守恒定律: 当\(\vec M\)为0时，\(\vec L\)为常矢量，即对于某一固定点，当质点所受合外力矩为0，则质点对该固定点的角动量矢量保持不变。
• 角动量守恒定律不依赖于牛顿定律