功与能知识点总结
功
- 力在空间上的积累效应
定义
- 一个质点在力\(\vec F\)的作用下，发生一无限小的位移元\(d\vec s\)时，力对质点做的功\(dA\)为$$dA = \vec F \cdot d\vec s = |\vec F||d\vec s|cos \theta = \vec F_t |d\vec s|$$其中，\(\vec F_t\)为力\(F\)在\(d\vec s\)方向的分力
- 功是标量，大于零表示做正功，小于零表示做负功，等于零即不做功。
- 质点沿路径\(L\)移动时，力对质点做的功为(第二型曲线积分)$$A=\int_L dA=\int_{AB}\vec F\cdot d\vec s$$
- 功的量纲为\(J\),\(1J = 1 N \cdot m\)，\(1eV = 1.6\times 10^{-19} J\)
动能定理
- 定义动能为：\(E_k = \frac{1}{2}mv^2=\frac{p^2}{2m}\)
- 动能定理：合外力对质点做的功改变的质点的动能，功的数值就是动能的改变量。
\[dA = F_t |d\vec r| = ma_t\cdot vdt=m\frac{dv}{dt}\cdot vdt =mvdv =d(\frac{1}{2}mv^2) = dE_k
\]
\[\int_A^BdA =\int_A^BdE_k
\]
\[A_{AB} = E_{kB} - E_{kA} = \frac{1}{2}mv^2_B -\frac{1}{2}mv_A^2
\]
- 对质点系而言：
对每一个质点\(i\)有
\[\int_L \vec F_i d\vec r_i +\sum_{j\not = i} \int_L \vec F_{ji}d\vec r_i=\Delta E_{kiAB} = \frac{1}{2}mv^2_{iB} -\frac{1}{2}mv_{iA}^2
\]
于是累加后得，
\[\sum_i\int_L \vec F_i d\vec r_i +\sum_i\sum_{j\not = i} \int_L \vec F_{ji}d\vec r_i = \sum_i \frac{1}{2}mv_{iB}^2 -\sum_i\frac{1}{2}mv_{iA}^2
\]
等式左边为所有外力对质点系做的总功，以及质点系内力做的总功。
等式右边为质点系总动能的增量，统一形式得
\[A_{ext}+A_{int} = E_{kB} - E_{kA}
\]
即$$A_{外}+A_{内} = E_{kB} - E_{kA}$$
[!warning] Tip
- 内力虽成对出现，但内力功的和不一定为零（各质点位移不一定相同）。
- 内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量
质心系动能定理(柯尼希定理)
设质心系一个质点相对于一个惯性系速度为\(\vec v_i\)，相对于质心参考系速度为\(\vec v_i'\)，质心相对于惯性系速度\(\vec v_c\)。
\[E_k =\sum \frac{1}{2}m\vec v_i^2 =\sum \frac{1}{2}m(\vec v_i'+\vec v_c)^2 = \frac{1}{2}m\vec v_c^2 +\vec v_c\sum m_i\vec v_i'+\sum\frac{1}{2}m_i\vec v_i'^2
\]
对等式右侧分析：
第一项：质心的动能，轨道动能。
第二项：$$\vec v_c\sum m_i\vec v_i' = \vec v_c \frac{d}{dt}\sum m_i\vec r_i=\vec v_c m\frac{d\vec r_c}{dt} = 0$$，因为质心的在质心参考系中的位矢不随时间变化。
第三项：质点系相对于质心的总动能，叫质点系的内动能
故，可写成
\[E_k = \frac{1}{2}m v_c^2 +\sum\frac{1}{2}m_iv_i'^2
\]
\[E_k = E_{kC}+E_{k,int}
\]
- 柯尼希定理：一个质点系相对于某一惯性系的总动能等于该质点系的轨道动能和内动能之和。
保守力
- 做功与路径无关，只由系统的始末位置决定的力叫做保守力。否则为非保守力。
- 等价定义：力作用在物体上沿闭合路径做功为零的力。
\[\oint_L \vec f \cdot d\vec s = 0
\]
势能
- 系统由位形(1)变到位形(2)的过程中，其势能的减少(增量的负值)等于保守力做的功。
\[A_{保12} = -\Delta E_p = E_{p1} -E_{p2}
\]
- 若系统在位形（0）的势能为零,有
\[A_{保10} = \int_{(1)}^{(0)}\vec f\cdot d\vec s = E_{p1}
\]
- 势能不依赖于参考系的选择，不要将势能零点的选择与参考系的选择相混淆。
- 势能属于相互作用的系统
- 系统的势能与参考系无关
常见势能
万有引力势能
\[E_p (r) = -\frac{GMm}{r}
\]
\[E_p(\infty) = 0
\]
重力势能
\[E_p(h) = mgh
\]
\[E_p(0)=0
\]
弹性势能
\[E_p(x) = \frac{1}{2}kx^2
\]
\[E_p(0)=0
\]
由势能求保守力
\[F_l = -\frac{dE_p}{dl}
\]
\[\vec F = -(\frac{\partial E_p}{\partial x}\vec i+\frac{\partial E_p}{\partial y}\vec j+\frac{\partial E_p}{\partial z}\vec k)
\]
机械能守恒定律
- 功能原理：
\[A_{外}+A_{内} =A_{外}+A_{内保}+A_{内,非保} = E_{k1}-E_{k0}
\]
\[A_{内保} = E_{p0}-E_{p1}
\]
\[A_{外}+A_{内,非保} = (E_{k1}+E_{p1})-(E_{k0}+E_{p0})=E_1-E_0
\]
引入机械能\(E=E_k+E_p\)
- 机械能守恒定律：在只有保守内力作功时，系统的机械能不变。（当内力只有保守力，且没有外力对系统做功时）
\[\Delta E = 0
\]
- 保守内力作功是系统势能与动能相互转化的手段和度量。
碰撞
- 两个或两个以上的物体相遇，且相互作用持续一个极短暂的时间。
- 特点：
- 物体间的相互作用是突发性，持续时间极短。
- 作用力峰值极大，碰撞符合动量守恒定律的适用条件。
- 碰撞过程中物体会产生形变
- 过程：
- 接触阶段： 两球对心接近运动
- 形变产生阶段：两球相互挤压，最后两球速度相同——动能转变为势能
- 形变恢复阶段：在弹性力作用下两球速度逐渐不同而分开运动——势能转变为动能
- 分离阶段： 两球分离，各自以不同的速度运动
- 分类：
- 完全弹性碰撞： 系统动能守恒
- 非弹性碰撞： 系统动能不守恒
- 完全非弹性碰撞： 系统以相同的速度运动
碰撞过程分析
-
\(m_1,m_2\)：两个物体的质量
-
\(v_1,v_2\)：两个物体碰撞前的速度
-
\(v_1′,v_2′\)：两个物体碰撞后的速度
-
非完全弹性碰撞
\[v' =\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}
\]
- 完全弹性碰撞的特点：动量守恒，动能守恒，\(v_1+v_1' = v_2 +v_2'\)
\[v_1^{\prime}=\frac{(m_1-m_2)v_1+2m_2v_2}{m_1+m_2}
\]
\[v_2^{\prime}=\frac{(m_2-m_1)v_2+2m_1v_1}{m_1+m_2}
\]
-
非完全弹性碰撞
-
恢复系数：碰撞后两球的分离速度与碰撞前接近速度的比值$$e = \frac{v_2'-v_1'}{v_1 - v_2}$$
-
完全非弹性碰撞\(e=0\)，弹性碰撞\(e=1\)，一般碰撞\(0<e<1\)
\[v_1^{\prime}=\frac{(m_1-em_2)v_1+(1+e)m_2v_2}{m_1+m_2}
\]
\[v_2^{\prime}=\frac{(m_2-em_1)v_2+(1+e)m_1v_1}{m_1+m_2}
\]
- 碰撞过程能量损失
\[\Delta E=\frac12(1-e^2)\frac{m_1m_2}{(m_1+m_2)}(v_{1}-v_{2})^2
\]
流体的稳定流动
- 理想流体：不可压缩、无粘性的流体
- 粘性：流体流动时，各流层之间存在着阻碍相对运动的内摩擦力，这就是流体的粘性。
- 稳定流动/稳流：空间各点流速不随时间而变
- 流线：在流速场中画一些曲线，使曲线上每点切线方向与该点的流速方向相同，这些曲线就叫流线 , 流线不能相交， 稳定流动中，流线分布才不随时间而变化
稳流的连续性方程
- 在不可压缩流体稳定流动的流速场中, 单位时间通过截面\(ΔS_1\)的流体体积与通过截面\(ΔS_2\)的流体体积必然相等
\[S_1 v_1 = S_2v_2
\]
- 表明：截面大处，流速小，流线疏；截面小处，流速大，流线密
- 定义单位时间内通过某截面的流体体积为流量,则\(Q = vS\)
- 故，当不可压缩流体做稳定流动时，流量守恒
伯努利方程
\[p+\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = Const
\]
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