质点运动学知识点总结

参考系

• 物体的机械运动是指它的位置随时间的改变，位置总是相对的。任何物体的位置总是相对于其他物体或物体系来确定的，这个物体或物体系就是确定物体位置时用的参考物。
• 运动的相对性：物体的运动形式随参考物的不同而不同。
• 一个固定在参考物上的坐标系(坐标系上各处时间同步)组成一个参考系。

质点的位矢，位移，速度

选定了参考系，一个质点的运动可以用函数的形式表述

\[x=x(t),y=y(t),z=z(t)$$这样的一组函数是质点的**运动函数**。 质点的位置可以用矢量表示，从原点向该点引入一条有向线段，记作**位矢**$\vec r$。 $\vec r$ 的方向表示了质点相对原点的方向，其大小则表示距离。 以 $\vec i,\vec j,\vec k$ 表示 $x,y,z$ 轴的单位矢量，则有$$\vec r = x\vec i+y\vec j+z\vec k$$$$\vec r(t) = x(t)\vec i+y(t)\vec j+z(t)\vec k\]

• 其中的三个方向的运动函数可以看作质点沿各个坐标轴的分运动，质点的实际运动是各分运动的合运动。
• 质点运动时经过的路线是轨道，在一段时间内沿轨道经过的距离是路程，在一段时间内其位置的改变是位移 \(\Delta \vec r\)。(矢量)

\[\Delta \vec r = \vec r(t+\Delta t) - \vec r(t) \]

• 位移矢量的大小是\(|\Delta \vec r|\)，\(\Delta r\)则是位矢的大小改变量，两者注意区分。

\[|\Delta \vec r| \not = \Delta r \]

• 平均速度：位移与这段时间的比值$$\overline{\vec v} =\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}$$
• 瞬时速度：当\(\Delta t\)趋于零时的平均速度，简称速度

\[\vec v = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{d \vec r}{dt} \]

• 速率：速度的大小，也是质点的走过的路程随时间的变化率

\[v=|\vec v|=|\frac{d\vec r}{dt}|=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{|d\vec r|}{dt} \]

\(\Delta s\)表示\(\Delta t\)时间内质点经过的路程，则\(\Delta t\rightarrow 0\)时，\(|\Delta \vec r|\)与\(\Delta s\)趋于相同

\[\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{|\Delta \vec r|}{\Delta t}=\frac{ds}{dt} \]

由于\(|\Delta \vec r|\not =|\Delta r|\)

\[v=|\frac{d\vec r}{dt}| \not = \frac{dr}{dt} \]

同理，速度也可以分解成三个坐标轴的分速度

\[\vec v =\frac{dx}{dt}\vec i+\frac{dy}{dt}\vec j+\frac{dz}{dt}\vec k=\vec v_x+\vec v_y+\vec v_z \]

\[v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2} \]

加速度

• 加速度：速度的变化情况

\[\overline {\vec a} = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \]

\[\vec a = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \vec v}{\Delta t} = \frac{d\vec v}{dt}=\frac{d^2\vec r}{dt^2} \]

\[\vec a = \frac{dv_x}{dt}\vec i+\frac{dv_y}{dt}\vec j+\frac{dv_z}{dt}\vec k=\vec a_x+\vec a_y+\vec a_z \]

匀加速运动

• 加速度为常矢量的运动为匀加速运动

显然，

\[d\vec v = \vec adt \]

\[\int_{\vec v_0}^{\vec v} d\vec v=\int_0^t \vec adt \]

\[\vec v = \vec v_0+\vec at \]

\[\vec r = \vec r_0+\vec v_0 t+\frac{1}{2}\vec at^2 \]

• 其中矢量可沿三个坐标轴分解得到三个方向的分运动，
• \(t=0\)时，质点的\(\vec r_0，\vec v_0\)为初始条件

抛体运动

• 在空气阻力可以忽略的情况下，空中运动的物体在各时刻的加速度都是重力加速度\(\vec g\).
• 若以抛出点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴

\[\left\{\begin{matrix} v_x = v_0 cos\theta \\ v_y = v_0 sin\theta -gt\\ \end{matrix}\right. \]

\[\left\{\begin{matrix} x = v_0cos\theta t \\ y = v_0 sin\theta t -\frac{1}{2}gt^2\\ \end{matrix}\right. \]

圆周运动

• 质点沿圆周运动时，它的速率叫做线速度，\(s\)表示一段时间内质点运动的弧长，则

\[v=\frac{ds}{dt} \]

• 若\(\theta\)表示这段时间内指向质点的半径转过的角度，则

\[s=R\theta \]

\[v = R\frac{d\theta}{dt}=R\omega \]

• \(\omega\)是质点运动的角速度大小，单位为\(rad/s\)

• 变速圆周运动的加速度，将质点的瞬时速度沿切向和径向分解,则

\[\Delta\vec v =\Delta \vec v_n+\Delta \vec v_t \]

\[\vec a = \vec a_n+ \vec a_t \]

切向加速度

\[\vec a_t = \frac{dv}{dt} = R\frac{d\omega}{dt} \]

向心加速度

\[\vec a_n = \frac{v^2}{R} = \omega^2R \]

总加速度大小

\[a = \sqrt{a_t^2+a_n^2} \]

加速度与速度的夹角

\[\beta = arctan \frac{a_n}{a_t} \]

注：

\[a=|\vec a| = |\frac{d\vec v}{dt}| \not = \frac{dv}{dt} = a_t \]

相对运动

• 对于不同参考系而言，同一质点的运动参量可能不同。
• 伽利略速度变换：同一质点相对于两个相对做平动的参考系的速度之间的关系
• \(\vec v\)为质点相对于\(S\)系的速度，\(\vec v'\)表示质点相对于\(S'\)系的速度，\(\vec u\)表示\(S'\)相对于\(S\)的平动速度，则

\[\vec v = \vec v' + \vec u \]

\[\vec v_{A对S} = \vec v_{A对S'}+\vec v_{S'对S} \]

同理，

\[\vec a = \vec a' + \vec a_0 \]

若两个参考系相对做匀速直线运动，则

\[\vec a' = \vec a \]