平面最近点对题解

• 来源：https://www.luogu.com.cn/problem/P1429

题意

给定平面上 \(n\) 个点，找出其中的一对点的距离，使得在这 \(n\) 个点的所有点对中，该距离为所有点对中最小的。

输入格式

第一行：\(n\) ，保证 \(2\le n\le 200000\) 。

接下来 \(n\) 行：每行两个整数：\(x\ y\) ，表示一个点的行坐标和列坐标，中间用一个空格隔开。

输出格式

仅一行，一个实数，表示最短距离，精确到小数点后面 \(4\) 位。

题解

• 使用CDQ分治找平面中最近的两点。
• 首先将所有的点按坐标\(x\)排序，将点集划分为两部分（以\(x\)处于中间的点为界），于是左右两个平面被划分为两个思想一致的子问题，递归求解得到左，右平面内的最小距离\(d_{min} = min(L_{min},R_{min})\)，还需考虑跨左右平面的最短距离是否会更小，以中点为基准，若一个点到中点\(x,y\)方向上距离比最短距离\(d_{min}\)还长，就不可能对答案做出贡献，于是找出所有可能对答案有贡献的点，计算他们的两两之间的距离，与\(d_{min}\)比较维护\(d_{min}\)即可

伪代码

AC 代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define int long long
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);
#define endl '\n' 
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll infll = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double PI = acos(-1.0);
using namespace std;
//ifstream fin("input.txt");
//ofstream fout("output.txt");
//#define cin fin
//#define cout fout

const int N = 2e5+5;
int n;
struct point
{
    int x,y;
};

double dist(point& a,point& b) {
    return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}


bool cmp(point& a,point& b) {
    if(a.x==b.x) return a.y<b.y;
    return a.x<b.x;
}

bool cmpy(point&a ,point& b) {
    return a.y<b.y;
}


point points[N];

double solve(int l,int r) {
    if(l==r) return inf;
    if(l+1==r) return dist(points[l],points[r]);

    int mid = (l+r)>>1;

    double d1 = solve(l,mid);
    double d2 = solve(mid+1,r);
    double mind = min(d1,d2);

    vector<point> tmp;
    for(int i=l;i<=r;i++) {
        if(fabs(points[i].x-points[mid].x)<=mind) {
            tmp.push_back(points[i]);
        }
    }
    sort(tmp.begin(),tmp.end(),cmpy);
    for(int i=0;i<tmp.size() ;i++) {
        for(int j=i+1;j<tmp.size() && fabs(tmp[i].y-tmp[j].y)<=mind;j++) {
            double d=dist(tmp[i],tmp[j]);
            mind=min(mind,d);
        }
    }
    return mind;
}



signed main()
{
    IOS
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>points[i].x>>points[i].y;
    sort(points+1,points+n+1,cmp);
    cout<<fixed<<setprecision(4)<<solve(1,n);


    //fin.close(),fout.close();
    return 0;
}