min-max容斥复习
其实\(min-max\)容斥并不难
\(kth-max(S)\)指集合S的第\(k\)大
考虑设系数为\(f(|T|)\)
\[kth-max(S)=\sum_{T \subset S,T \neq \emptyset} f(|T|)min(T)
\]
从小到大排第\(x\)个的贡献
\[[n-k+1=x]=\sum_{i=0}^{n-x} \tbinom{n-x}{i} f(i+1)
\]
\[[n-x=k-1]=\sum_{i=0}^{n-x} \tbinom{n-x}{i} f(i+1)
\]
\[[t=k-1]=\sum_{i=0}^t \tbinom{t}{i} f(i+1)
\]
二项式反演
\[f(t+1)=\sum_{i=0}^t \tbinom{t}{i} (-1)^{t-i} [i=k-1]
\]
\[f(t+1)=\tbinom{t}{k-1} (-1)^{t-k+1}
\]
\[f(t)=\tbinom{t-1}{k-1} (-1)^{t-k}
\]
考虑\(kth-min\)
\[kth-min(S)=\sum_{T \subset S,T \neq \emptyset} g(|T|)max(T)
\]
\[[n-k+1=x]=\sum_{i=0}^{n-x} \tbinom{n-x}{i} g(i+1)
\]
所以$$g=f$$
洛谷的一道好题
重返现世
