bzoj1041[HAOI2008]圆上的整点
题意：
求一个给定半径的圆圆周上有多少个点的坐标是整数。r≤2*109
题解：
数学神题，本弱只能转载一下黄学长的题解
“
首先x²+y²=r²，变形得y²=(r+x)*(r-x)。令d=gcd(r+x,r-x)，则A=(r-x)/d，B=(r+x)/d，A,B互质，用a,b代入，有y²=d²*A*B，由于d²，y²为完全平方数，故A*B也为完全平方数。又因为A≠B，所以A和B都是完全平方数。设a²=A=(r-x)/d，b²=B=(r+x)/d，则a²+b²=2r/d，因此d为r的约数。
有了上面的推理，那么实现的方法为：枚举d∈[1,sqrt(2R)]，然后根据上述推理可知：必先判d是否为2R的一约数。此时d为2R的约数有两种情况：d=d或d=2R/d。
第一种情况：d=2R/d。枚举a∈[1,sqrt(2R/d/2)] ，算出对应的b=sqrt(2R/d-a^2)，检查是否此时的A,B满足：A≠B且A,B互质，若是就将答案加1
第二种情况：d=d。枚举a∈[1,sqrt(d/2)]，算出对应的b=sqrt(d-a^2)，检查是否此时的A,B满足：A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>，若是就将答案加1
因为这样只算出了第一象限的情况<上面枚举时均是从1开始枚举>，根据圆的对称性，其他象限的整点数与第一象限中的整点数相同，最后，在象限轴上的4个整点未算，加上即可，那么最后答案为ans=4*第一象限整点数+4
”
代码：
1 #include <cstdio> 2 #include <algorithm> 3 #include <cstring> 4 #include <cmath> 5 #define ll long long 6 #define inc(i,j,k) for(ll i=j;i<=k;i++) 7 using namespace std; 8 9 ll gcd(ll a,ll b){return b==0?a:gcd(b,a%b);} 10 int main(){ 11 ll n,ans=0; scanf("%lld",&n); n*=2; 12 inc(i,1,(ll)sqrt(n))if(n%i==0){ 13 ll d=i; 14 inc(j,1,(ll)sqrt(n/d/2)){ 15 ll b=n/d-j*j; if(sqrt(b)==(double)((ll)sqrt(b))&&gcd(j*j,b)==1&&j*j!=b)ans++; 16 } 17 if(d!=n/i){ 18 d=n/i; 19 inc(j,1,(ll)sqrt(n/d/2)){ 20 ll b=n/d-j*j; if(sqrt(b)==(double)((ll)sqrt(b))&&gcd(j*j,b)==1&&j*j!=b)ans++; 21 } 22 } 23 } 24 printf("%lld",ans*4+4); return 0; 25 }
20160615
