递归与分治策略-学习笔记
递归的概念
递归算法：直接或间接地调用自身的算法
递归函数：用函数自身给出定义的函数
递归方法的构造
构造递归方法的关键在于建立递归关系。这里的递归关系可以是递归描述的，也可以是递推描述的。下面由一个求n的阶乘的程序为例，总结出构造递归方法的一般步骤。
[例1]从键盘输入正整数N（0<=N<=20），输出N!。
[分析]N!的计算是一个典型的递归问题。使用递归方法来描述程序，十分简单且易于理解。
[步骤1]描述递归关系 递归关系是这样的一种关系。设{U1,U2,U3,…,Un…}是一个序列，如果从某一项k开始，Un和它之前的若干项之间存在一种只与n有关的关系，这便称为递归关系。
注意到，当N>=1时，N!=N*(N-1)!（N=1时，0!=1），这就是一种递归关系。对于特定的K!，它只与K与(K-1)!有关。
[步骤2]确定递归边界 在步骤1的递归关系中，对大于k的Un的求解将最终归结为对Uk的求解。这里的Uk称为递归边界（或递归出口）。在本例中，递归边界为k=0，即0!=1。对于任意给定的N!，程序将最终求解到0!。
确定递归边界十分重要，如果没有确定递归边界，将导致程序无限递归而引起死循环。例如以下程序：
#include <iostream.h> int f(int x){ return(f(x-1)); } main(){ cout<<f(10); }
它没有规定递归边界，运行时将无限循环，会导致错误。
[步骤3]写出递归函数并译为代码 将步骤1和步骤2中的递归关系与边界统一起来用数学语言来表示，即
N*(N-1)! 当N>=1时
n!=
1 当N=0时
再将这种关系翻译为代码，即一个函数：
long f(int n){ if (n==0) return(1); else return(n*f(n-1)); }
[步骤4]完善程序 主要的递归函数已经完成，将程序依题意补充完整即可。
#include <iostream.h> long f(int n){ if (n==0) return(1); else return(n*f(n-1)); } main(){ int n; cin>>n; cout<<endl<<f(n); }
经典递归问题
[例2]Fibonacci数列（兔子繁殖）问题：已知无穷数列A，满足：A(1)=A(2)=1，A(N)=A(N-1)+A(N-2)（N>=3）。从键盘输入N，输出A(N)。
[分析]递归关系十分明显，由A(N)的表达式给出。需要注意的是本例中对于N>=3，A(N)的值与A(N-1)和A(N-2)都有关。
#include <iostream.h> long fibonacci(int x) { if ( (x==1) || (x==2) ) return(1); else return(fibonacci(x-1)+fibonacci(x-2)); } main(){ int n; cin>>n; cout>>endl>>fibonacci(n); }
[例3]Hanoi塔问题。
[问题描述]在霍比特人的圣庙里，有一块黄铜板，上面插着3根宝石针（分别为A号，B号和C号）。在A号针上从下到上套着从大到小的n个圆形金片。现要将A针上的金片全部移到C针上，且仍按照原来的顺序叠置。移动的规则如下：这些金片只能在3根针间移动，一次只能一片，且任何时候都不允许将较大的金片压在较小的上面。从键盘输入n，要求给出移动的次数和方案。
[分析]由金片的个数建立递归关系。当n=1时，只要将唯一的金片从A移到C即可。当n>1时，只要把较小的(n-1)片按移动规则从A移到B，再将剩下的最大的从A移到C（即中间“借助”B把金片从A移到C），再将B上的(n-1)个金片按照规则从B移到C（中间“借助”A）。
本题的特点在于不容易用数学语言写出具体的递归函数，但递归关系明显，仍可用递归方法求解。
#include <iostream.h> hanoi(int n,char t1,char t2,char t3){ if (n==1) cout<<"1 "<<t1<<" "<<t3<<endl; else { hanoi(n-1,t1,t3,t2); cout<<n<<" "<<t1<<" "<<t3<<endl; hanoi(n-1,t2,t1,t3); } } main(){ int n; cout<<"Please enter the number of Hanoi:"; cin>>n; cout<<"Answer:"<<endl; hanoi(n,'A','B','C'); }
分治策略
基本概念
分治策略是对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。
基本步骤
step1分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
step2解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；
step3合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
它的一般的算法设计模式如下：
Divide-and-Conquer(P)
if |P|≤n0
then return(ADHOC(P))
将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk
for i←1 to k
do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △递归解决Pi
T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △合并子问题
return(T)
其中|P|表示问题P的规模，n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P，因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P的解。
（例）二分查找
public class partFind { public static int whilefind(int[] arr,int val){//5 6 7 10 int right=0; int left=arr.length-1; while (right<=left){ int mid=(right+left)/2;//当范围数值过大可以采用：mid=left+(right-left)/2 0.618 if (val==arr[mid]){ while (mid>0&&arr[mid-1]==val) --mid;//如果数组中存在相同元素，且要求返回的是最右边值的下标 return mid; } if (val<arr[mid]){ left=mid-1; } if (val>arr[mid]){ right=mid+1; } } return -1; } public static void main(String[] args) { int[] arr={12,12,23,23,23,34,45,56}; System.out.println(whilefind(arr,12)); } }
