求凸多边形的面积

碰到这个问题的时候，我第一个想到的是固定凸多边形的一个点，然后枚举所有边与它组成三角形，最后计算三角形的面积和。知道如如何用鞋带公式求三角形的面积后，我写出了以下代码：

// 鞋带公式求三角形面积
double area(std::array<i64, 2> &u, std::array<i64, 2> &v, std::array<i64, 2> &w) { 
    return std::abs((u[0] * (v[1] - w[1]) + v[0] * (w[1] - u[1]) + w[0] * (u[1] - v[1])));
}

double get() {
    double S = 0;
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        S += area(a[0], a[i - 1], a[i]);
    }
    return S / 2.0;
}

只能说这个实现可以，但不是那么简洁。

看题解的时候又看到了一个可以认为是 三角形鞋带公式 向 求任意多边形面积的公式 的推广：

double get() {
    double S = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int j = (i + 1) % n;
        S += (a[i].x * a[j].y - a[j].x * a[i].y);
    }
    return S / 2.0
}

从代码表现上来看，\(S\) 每次的增量似乎是两个点之间的叉积。但两个点怎么有叉积？其实并非两个点，而是从原点 \((0, 0)\) 到两个点的向量，改成这样就好看一些：

double get() {
    double S = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int j = (i + 1) % n;
        S += ((a[i].x - 0) * (a[j].y - 0) - (a[j].x - 0) * (a[i].y - 0));
    }
    return S / 2.0
}

但是实际实现时没必要。

需要注意的是，下面两端代码需要保证多变形上的点是以逆时针的顺序给出的，如果是以顺时针顺序给出，则最后的结果要取相反数