离散数学
先咕咕一段时间，感觉目前整理的优先细致过头，反而体现不出自己的思考（更多的可能因为已经过了）
后面再一点点更新吧
开篇
- 教材：（不重要，没用学校的教材）
- 考到图论 —— 2024.12.17
数理逻辑
命题逻辑
谓词逻辑
集合论
集合与关系
图论
图的基本概念
一个图是一个三元组 \(G = \langle V, E, \varphi \rangle\)，其中 \(V\) 是顶点的集合，\(E\) 是边的集合，\(\varphi\) 是边与顶点之间的对应关系。
若边 \(e_i\) 与无序偶 \((v_j, v_k)\) 对应，则称 \(e_i\) 是 \(v_j\) 与 \(v_k\) 之间的无向边；若边 \(e_i\) 与有序偶 \((v_j, v_k)\) 对应，则称 \(e_i\) 是 \(v_j\) 与 \(v_k\) 之间的有向边。
- 孤立结点：没有边与之相连的结点。
- 零图：没有边的图。
- 平凡图：只有一个结点且没有边的图。
- 邻接点：被一条边连接的两个点。
- 邻接边：一个点连出的两条边。
- 平行边：两个结点之间有两条或两条以上的边。
- 多重图：含有平行边的图。
- 简单图：没有平行边和自环的图。
- 完全图：任意两个结点之间都有一条边的图。
- 无向完全图：任意两个结点之间都有一条无向边的图，记为 \(K_n\) 。
度数
\(deg(v)\) 表示顶点 \(v\) 的度数，\(\Delta(G)\) 表示图 \(G\) 的最大度数，\(\delta(G)\) 表示图 \(G\) 的最小度数。
定理
- \(\sum_{v \in V} deg(v) = 2 \cdot |E|\)
- \(deg(v)\) 为奇数的顶点数是偶数。
补图
若 \(G\) 是简单图，则 \(G\) 的补图 \(\overline{G}\) 也是简单图，两者可合并构成完全图。
子图
若 \(G = \langle V, E \rangle\)，\(G' = \langle V', E' \rangle\)，且 \(V' \subseteq V\)，\(E' \subseteq E\)，则 \(G'\) 是 \(G\) 的子图。
同构
若 \(G = \langle V, E \rangle\)，\(G' = \langle V', E' \rangle\)，且存在一个双射 \(f: V \rightarrow V'\)，使得 \(e \in E\) 当且仅当 \(f(e) \in E'\)，则 \(G\) 与 \(G'\) 同构，记为 \(G \simeq G'\)。
路与回路
- 路：两顶点之间的顶点序列。
- 回路：起点与终点相同的路。
- 迹：边不重复的边序列。
- 通路：顶点不重复的顶点序列。
- 圈：起点与终点相同的通路。
连通图
两点之间存在路，则称这两点连通。
\(G = \langle V, G \rangle\) 的联通分支数（即连通块的数量）记为 \(W(G)\)，若 \(W(G) = 1\)，则称 \(G\) 是连通图。
点割集
若对于连通图 \(G = \langle V, E \rangle\) 存在 \(V' \subseteq V\) 使得删除这些点和关联的边后，图 \(G\) 不是连通图，且 \(V'\)的任意真子集不满足该条件，则称 \(V'\) 是 \(G\) 的点割集，若 \(|V'| = 1\) 则称该点为割点。
(点)连通度
对于非完全图 \(G\) ，其联通度为 \(k(G) = min\{|V'|\}\)
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