二分图

二分图最大匹配：最多选出多少对点满足两点间有连边。

二分图完美匹配：左或右部点全被匹配。

设二分图 \(G=(X,Y,E)\)，\(|X|<|Y|\)。对于 \(S\subseteq X\)，定义 \(N(S)\) 表示 \(S\) 相邻点的点集（显然 \(N(S)\subseteq Y\))。

Hall 定理：二分图 \(G\) 中存在完美匹配的充要条件为 \(∀S\subseteq X\)，\(|N(S)|\ge|S|\) 。

显然的，若存在点集领域点数小于点集数，必然无法完全匹配。

推论 1：若二分图顶点度数都相同（正则二分图），则一定存在完美匹配。

推论 2：存在匹配使得未匹配的男生人数不超过 \(a\) 的充要条件为 \(∀S\subseteq X\)，\(|N(S)|\ge|S|-a\)

推论 3：设每个男生 \(x∈X\) 需要 \(r(x)\) 个不同的女生，存在匹配的充要条件为 \(∀S\subseteq X\)，\(|N(S)|\ge\sum\limits_{x\in S}r(x)\)。