动态规划

分拆数

\(f_{i,j}\) 表示将 \(i\) 拆成多个不大于 \(j\) 的方案数，那么 \(f_{i,j}=f_{i,j-1}+f_{i-j,j}\)。

\(g_{i,j}\) 表示将 \(i\) 拆成 \(j\) 个数的方案数，那么 \(g_{i,j}=g_{i-1,j-1}+g_{i-j,j}\)。\(g_{i-1,j-1}\) 表示拆出一个 \(1\)，那么 \(g_{i-j,j}\) 表示的就是没有 \(1\) 的情况，因为 \(j\) 个数均加了 \(1\)。

发现还是不好算，我们把 \(g_{i,j}\) 改成将 \(i\) 拆成 \(j\) 个大于等于 \(lim\) 的方案数，则 \(g_{i,j}=g_{i-lim,j-1}+g_{i-j,j}\)。

于是答案为 \(\sum\limits_{0\le i\le n}f_{i,lim-1}\sum\limits_{0\le j}g_{n-i,j}\)。

显然是个卷积状物，令 \(A_k=f_{k,lim-1}\)，\(B_k=\sum\limits_{0\le j}g_{k,j}\)。

于是答案为 \(\sum\limits_{0\le i\le n} A_iB_{n-i}\)。

例题

四边形不等式

\(i\le i'\le j\le j'\) 若满足 \(w_{i,j}+w_{i',j'}\le w_{i',j}+w_{i,j'}\)，则说其满足四边形不等式。

满足 \(w_{i,j}+w_{i+1,j+1}\le w_{i,j+1}+w_{i+1,j}\) 也称其满足四边形不等式。

::::info[证明]
\(w_{i,j}+w_{i+1,j+1}\le w_{i,j+1}+w_{i+1,j}\)

\(w_{i+1,j}+w_{i+2,j+1}\le w_{i+1,j+1}+w_{i+2,j}\)

\(w_{i,j}+w_{i+1,j+1}+w_{i+1,j}+w_{i+2,j+1}\le w_{i,j+1}+w_{i+1,j}+w_{i+1,j+1}+w_{i+2,j}\)

\(w_{i,j}+w_{i+2,j+1}\le w_{i,j+1}+w_{i+2,j}\)

多次操作得 \(w_{i,j}+w_{i',j+1}\le w_{i,j+1}+w_{i',j}\)。

\(j\) 那部分同理，故 \(w_{i,j}+w_{i',j'}\le w_{i,j'}+w_{i',j}\)。
::::

若 \(w_{i',j}\le w_{i,j'} (i\le i'\le j\le j')\) 则称 \(w\) 关于区间包含关系单调。

貌似每道题 \(f\) 都不一样，都得证明是否满足四边形不等式，但上面两条件满足是前提（也许吧？）

::::info[\(f_{i,j}=w_{i,j}+\min\limits_{i\le k<j}f_{i,k}+f_{k+1,j}\)]
\(f_{i,j}+f_{i+1,j+1}\le f_{i,j+1}+f_{i+1,j}\)

设 \(F(i,j)=\min\limits_{i\le k<j}f_{i,k}+f_{k+1,j}\)。

\(w_{i,j}+w_{i+1,j+1}+F(i,j)+F(i+1,j+1)\le w_{i,j+1}+w_{i+1,j}+F(i+1,j)+F(i,j+1)\)

\(w_{i,i+1}+w_{i+1,i+2}+F(i,i+1)+F(i+1,i+2)\le w_{i,i+2}+w_{i+1,i+1}+F(i+1,i+1)+F(i,i+2)\)

\(w_{i,i+1}+w_{i+1,i+2}+f_{i,i}+f_{i+1,i+1}+f_{i+1,i+1}+f_{i+2,i+2}\le w_{i,i+2}+w_{i+1,i+1}+f_{i+1,i+1}+\min\{f_{i,i}+f_{i+1,i+2},f_{i,i+1}+f_{i+2,i+2}\}\)

\(w_{i,i+1}+w_{i+1,i+2}+f_{i,i}+f_{i+1,i+1}+f_{i+2,i+2}\le w_{i,i+2}+w_{i+1,i+1}+\min\{f_{i,i}+w_{i+1,i+2}+f_{i+1,i+1}+f_{i+2,i+2},w_{i,i+1}+f_{i,i}+f_{i+1,i+1}+f_{i+2,i+2}\}\)

\(w_{i,i+1}+w_{i+1,i+2}\le w_{i,i+2}+w_{i+1,i+1}+\min\{w_{i+1,i+2},w_{i,i+1}\}\)
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