控制理论(数学基础)学习笔记：8.在Matlab Simulink 搭建传递函数

《高级控制理论——数学基础》学习笔记

8_如何在Matlab Simulink 搭建传递函数？？Transfer Function

《【工程数学基础】8_如何在Matlab Simulink 搭建传递函数？？Transfer Function》王天威（网名DR_CAN），博士

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给定一阶传递函数的框图：

其中输入为 \(u(t)\)，输出为 \(y(t)\)，\(a_0, b_0, b_1\) 为系统参数，传递函数为

\[H(s)=\frac{b_0+b_1s}{a_0+s} \]

一、微分方程推导

由传递函数定义

\[\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_0+b_1s}{a_0+s} \]

交叉相乘得

\[(a_0+s)Y(s)=(b_0+b_1s)U(s) \]

展开整理

\[a_0Y(s)+sY(s)=b_0U(s)+b_1sU(s) \]

利用拉普拉斯逆变换的线性性质 \(L^{-1}\{X(s)+Y(s)\}=L^{-1}\{X(s)\}+L^{-1}\{Y(s)\}\) 及微分性质 \(L^{-1}\{sX(s)\}=\frac{d}{dt}x(t)\)，对等式两边作拉普拉斯逆变换：

\[L^{-1}\{a_0Y(s)+sY(s)\}=L^{-1}\{b_0U(s)+b_1sU(s)\} \]

\[a_0y(t)+\dot{y}(t)=b_0u(t)+b_1\dot{u}(t) \]

移项整理为标准形式

\[\dot{y}(t)-b_1\dot{u}(t)=b_0u(t)-a_0y(t) \]

此即该传递函数对应的时域微分方程。

二、Simulink 框图实现

在 Simulink 中，积分模块 \(1/s\) 实现积分运算：输入为导数信号时，输出即为原函数。

2.1 消除输入导数项

设积分器输入为 \(\dot{y}(t)-b_1\dot{u}(t)\)，则其输出为

\[\int\left[\dot{y}(t)-b_1\dot{u}(t)\right]dt = y(t)-b_1u(t) \]

根据微分方程 \(\dot{y}(t)-b_1\dot{u}(t)=b_0u(t)-a_0y(t)\)，可用不含导数的表达式 \(b_0u(t)-a_0y(t)\) 作为积分器输入，输出即得 \(y(t)-b_1u(t)\)。

此方法的本质是将输入导数项通过代数运算消除，避免了直接对输入信号求微分带来的数值稳定性问题。

2.2 构建完整框图

为得到最终输出 \(y(t)\)，需在 \(y(t)-b_1u(t)\) 基础上叠加 \(b_1u(t)\)：

其中 \(b_1u(t)\) 通过乘法模块实现：

积分器输入 \(b_0u(t)-a_0y(t)\) 通过乘法模块和求和模块构建：

完整的 Simulink 实现框图：

验证可知，此框图与原传递函数等效。

三、高阶系统的推广

对于高阶传递函数，可采用串联积分模块的方式实现。以二阶系统为例，最右端为 \(\ddot{y}\)，经第一个积分器输出 \(\dot{y}\)，再经第二个积分器输出 \(y\)：

此方法可推广至任意阶系统，积分器串联数量由系统阶数决定。