《高级控制理论——数学基础》学习笔记
7_复数有三种表达，你知道么？
《【工程数学基础】7_复数有三种表达，你知道么？》王天威（网名DR_CAN），博士
复数的引入
为了解决负数开平方的问题，数学家引入了虚数单位 \(i = \sqrt{-1}\)，从而形成了复数体系。
考虑一元二次方程：
\[x^2-2x+2=0
\]
根据求根公式：
\[\begin{aligned}
x &= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\
&= \frac{2\pm\sqrt{4-8}}{2} \\
&= \frac{2\pm\sqrt{-4}}{2} \\
&= 1 \pm i
\end{aligned}
\]
这个例子说明，当判别式 \(b^2-4ac < 0\) 时，实数范围内无解，但在复数范围内有解。
一、代数形式
定义与表示
复数的代数形式是最直观的表达方式：
\[Z = a + bi
\]
其中：
- \(a\) 称为复数的实部，记作 \(\text{Re}(Z) = a\)
- \(b\) 称为复数的虚部，记作 \(\text{Im}(Z) = b\)
- \(i\) 是虚数单位，满足 \(i^2 = -1\)
特例
当 \(b = 0\) 时，\(Z = a\) 为实数
当 \(a = 0\) 时，\(Z = bi\) 为纯虚数
运算规则
复数加法：
\[(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i
\]
复数乘法：
\[\begin{aligned}
(a + bi)(c + di) &= ac + adi + bci + bdi^2 \\
&= ac + (ad + bc)i + bd(-1) \\
&= (ac - bd) + (ad + bc)i
\end{aligned}
\]
二、极坐标形式
定义
在复平面上，复数 \(Z = a + bi\) 可以表示为一个模（长度）和一个幅角（方向）。
![复平面示意图]()
模的计算
复数的模表示复平面上点到原点的距离：
\[|Z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
示例：\(Z = 3 + 4i\)，则 \(|Z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)
幅角的计算
幅角表示复向量与实轴正方向的夹角：
\[\theta = \angle Z = \arctan\frac{b}{a}
\]
注意：需要根据 \((a, b)\) 所在的象限确定实际角度。
极坐标表示
\[Z = |Z| \angle \theta
\]
这种形式在进行复数乘除运算时非常方便。
运算规则
乘法：模相乘，幅角相加
\[Z_1 \cdot Z_2 = |Z_1| \angle \theta_1 \cdot |Z_2| \angle \theta_2 = |Z_1||Z_2| \angle (\theta_1 + \theta_2)
\]
除法：模相除，幅角相减
\[\frac{Z_1}{Z_2} = \frac{|Z_1| \angle \theta_1}{|Z_2| \angle \theta_2} = \frac{|Z_1|}{|Z_2|} \angle (\theta_1 - \theta_2)
\]
乘方：模的乘方，幅角的倍数
\[Z^n = (|Z| \angle \theta)^n = |Z|^n \angle n\theta
\]
三、指数形式
从代数形式到极坐标
将直角坐标与极坐标的关系代入代数形式：
\[\begin{aligned}
a &= |Z|\cos\theta \\
b &= |Z|\sin\theta
\end{aligned}
\]
根据欧拉公式 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)，代入得：
\[\begin{aligned}
Z &= a + bi \\
&= |Z|\cos\theta + i|Z|\sin\theta \\
&= |Z|(\cos\theta + i\sin\theta) \\
&= |Z|e^{i\theta}
\end{aligned}
\]
这就是复数的指数形式，其中：
- \(|Z|\) 是模
- \(\theta\) 是幅角（单位：弧度）
示例
将 \(Z = 1 + i\) 转换为指数形式：
\[\begin{aligned}
|Z| &= \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \\
\theta &= \arctan\frac{1}{1} = \frac{\pi}{4} \\
\therefore Z &= \sqrt{2}e^{i\pi/4}
\end{aligned}
\]
三种形式的比较
| 形式 |
表示方法 |
适用场景 |
优点 |
| 代数形式 |
\(Z=a+bi\) |
复数加减运算 |
直观易懂，计算简单 |
| 极坐标形式 |
\(Z=|Z|\angle\theta\) |
幅角、模的分析 |
几何意义明确 |
| 指数形式 |
\(Z=|Z|e^{i\theta}\) |
复数乘除、微分方程 |
运算最为简洁 |
相互转换示例
例1：代数形式 → 指数形式
将 \(Z = \sqrt{3} + i\) 转换为指数形式：
\[\begin{aligned}
|Z| &= \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2 \\
\theta &= \arctan\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6} \\
\therefore Z &= 2e^{i\pi/6}
\end{aligned}
\]
例2：指数形式 → 代数形式
将 \(Z = 2e^{i\pi/3}\) 转换为代数形式：
\[\begin{aligned}
a &= 2\cos\frac{\pi}{3} = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \\
b &= 2\sin\frac{\pi}{3} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \\
\therefore Z &= 1 + \sqrt{3}i
\end{aligned}
\]
复数运算的便利性
不同形式在不同运算中有优势：
乘法（指数形式最方便）：
\[Z_1 \cdot Z_2 = |Z_1|e^{i\theta_1} \cdot |Z_2|e^{i\theta_2} = |Z_1||Z_2|e^{i(\theta_1+\theta_2)}
\]
除法（指数形式最方便）：
\[\frac{Z_1}{Z_2} = \frac{|Z_1|e^{i\theta_1}}{|Z_2|e^{i\theta_2}} = \frac{|Z_1|}{|Z_2|}e^{i(\theta_1-\theta_2)}
\]
乘方（指数形式最方便）：
\[Z^n = (|Z|e^{i\theta})^n = |Z|^n e^{in\theta}
\]
应用：欧拉恒等式的推导
当 \(|Z| = 1\) 且 \(\theta = \pi\) 时：
\[\begin{aligned}
Z &= |Z|e^{i\theta} \\
&= 1 \cdot e^{i\pi} \\
&= \cos\pi + i\sin\pi \\
&= -1 + i \cdot 0 \\
&= -1
\end{aligned}
\]
因此得到著名的欧拉恒等式：
\[e^{i\pi} + 1 = 0
\]
这个公式被誉为"最美的数学公式"，因为它联系了数学中五个最重要的常数：
- \(e\)：自然对数的底
- \(i\)：虚数单位
- \(\pi\)：圆周率
- \(1\)：乘法单位元
- \(0\)：加法单位元
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