控制理论(数学基础)学习笔记：6.SinX=2? 复变函数 欧拉公式

《高级控制理论——数学基础》学习笔记

6_SinX=2？复变函数 欧拉公式

《【工程数学基础】6_SinX=2？复变函数 欧拉公式》王天威（网名DR_CAN），博士

作者指出："没（什么实际）含义。就是反复运用欧拉公式。巩固记忆。"

问题的提出

在实数域中，\(\sin x\) 的图像如下所示，其值域为 \([-1,1]\)：

这一结论的前提是定义域为实数，即 \(x \in \mathbb{R}\)。

问题：若将定义域扩展到复数域，即 \(x \in \mathbb{C}\)，是否存在复数解使得 \(\sin x = 2\)？更一般地，对于 \(C > 1\)，方程 \(\sin z = C\) 是否有解？

复数基本知识回顾

复数的代数形式

复数可表示为：

\[z = a + bi \]

其中 \(i\) 为虚数单位，满足 \(i^2 = -1\)。在复平面上，横轴为实轴 \(\text{Re}\)，纵轴为虚轴 \(\text{Im}\)。

复数相等条件

对于两个复数 \(Z_1 = a_1 + b_1i\) 和 \(Z_2 = a_2 + b_2i\)，\(Z_1 = Z_2\) 当且仅当：

\[a_1 = a_2 \quad \text{且} \quad b_1 = b_2 \]

即：两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等。

欧拉公式与复数的指数形式

欧拉公式：

\[e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \]

两边同乘 \(r\)，得到复数的指数形式：

\[re^{i\theta} = r\cos\theta + ir\sin\theta \]

其中 \(r\) 为复数的模，\(\theta\) 为辐角。在复平面上，这表示一个长度为 \(r\) 的向量，其实部 \(a = r\cos\theta\)，虚部 \(b = r\sin\theta\)。

因此，复数有两种等价的表达方式：

• 代数形式：\(Z = a + bi\)
• 指数形式：\(Z = re^{i\theta}\)

其中：

\[r = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \]

问题求解

回到原问题：求解方程 \(\sin z = C\)，其中 \(C > 1\) 为实常数。

令复数 \(z = a + bi\)，其中 \(a, b \in \mathbb{R}\)。

步骤一：导出正弦函数的指数表达式

根据欧拉公式：

\[\begin{aligned} e^{iz} &= \cos z + i\sin z \qquad \text{①} \\ e^{-iz} &= \cos(-z) + i\sin(-z) = \cos z - i\sin z \qquad \text{②} \end{aligned}\]

注：\(\cos(-z) = \cos z\)，\(\sin(-z) = -\sin z\) 对任意复数 \(z\) 均成立（由欧拉公式可验证）。

①式减去②式：

\[e^{iz} - e^{-iz} = (\cos z + i\sin z) - (\cos z - i\sin z) = 2i\sin z \]

因此，复数正弦函数可表示为：

\[\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} \]

步骤二：代入复数形式

将 \(z = a + bi\) 代入方程 \(\sin z = C\)：

\[\frac{e^{i(a+bi)} - e^{-i(a+bi)}}{2i} = C \]

化简指数部分：

\[\frac{e^{ai}e^{-b} - e^{-ai}e^{b}}{2i} = C \]

再利用欧拉公式展开 \(e^{ai}\) 和 \(e^{-ai}\)：

\[e^{ai} = \cos a + i\sin a, \quad e^{-ai} = \cos a - i\sin a \]

代入得：

\[\frac{(\cos a + i\sin a)e^{-b} - (\cos a - i\sin a)e^{b}}{2i} = C \]

展开并整理分子：

\[\frac{(e^{-b} - e^{b})\cos a + i(e^{-b} + e^{b})\sin a}{2i} = C \]

步骤三：分离实部与虚部

分子分母同除以 \(i\)：

\[\frac{1}{2}(e^{-b} - e^{b})\cos a \cdot (-i) + \frac{1}{2}(e^{-b} + e^{b})\sin a = C \]

整理为标准复数形式：

\[\underbrace{\frac{1}{2}(e^{-b} + e^{b})\sin a}_{\text{实部}} + i\underbrace{\frac{1}{2}(e^{b} - e^{-b})\cos a}_{\text{虚部}} = C + 0i \]

根据复数相等条件，实部和虚部分别相等：

\[\begin{cases} \displaystyle \frac{e^{-b} + e^{b}}{2}\sin a = C \qquad &\text{--- (实部方程)} \\ \displaystyle \frac{e^{b} - e^{-b}}{2}\cos a = 0 \qquad &\text{--- (虚部方程)} \end{cases}\]

步骤四：解方程组

首先解虚部方程：

\[\frac{e^{b} - e^{-b}}{2}\cos a = 0 \]

有两种可能：

1. \(\cos a = 0\)，即 \(a = \frac{\pi}{2} + k\pi\)，\(k \in \mathbb{Z}\)
2. \(e^{b} - e^{-b} = 0\)，即 \(e^{b} = e^{-b}\)，这意味着 \(b = 0\)

接下来解实部方程：

\[\frac{e^{-b} + e^{b}}{2}\sin a = C \]

• 情形一：若 \(b = 0\)

  \[\frac{1 + 1}{2}\sin a = C \Rightarrow \sin a = C \]

  由于 \(a \in \mathbb{R}\) 且 \(C > 1\)，此方程无实数解。

• 情形二：若 \(a = \frac{\pi}{2} + k\pi\)

  需要进一步考察 \(\sin a\) 的符号：

  • 当 \(a = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) 时，\(\sin a = 1\)
  • 当 \(a = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\) 时，\(\sin a = -1\)

  由于 \(C > 1\)，必须取 \(\sin a = 1\)，因此：

  \[a = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

  代入实部方程：

  \[\frac{e^{-b} + e^{b}}{2} \cdot 1 = C \]
  \[e^{b} + e^{-b} = 2C \]

  两边同乘 \(e^{b}\)：

  \[e^{2b} - 2Ce^{b} + 1 = 0 \]

  令 \(u = e^{b}\)（注意 \(u > 0\)），得：

  \[u^2 - 2Cu + 1 = 0 \]

  由求根公式：

  \[u = \frac{2C \pm \sqrt{4C^2 - 4}}{2} = C \pm \sqrt{C^2 - 1} \]

  由于 \(C > 1\)，两个根均为正数，因此：

  \[e^{b} = C \pm \sqrt{C^2 - 1} \]

  取自然对数：

  \[b = \ln\left(C \pm \sqrt{C^2 - 1}\right) \]

步骤五：最终结论

综上所述，对于方程 \(\sin z = C\)（\(C > 1\)）：

\[\boxed{z = \frac{\pi}{2} + 2k\pi + i\ln\left(C \pm \sqrt{C^2 - 1}\right), \quad k \in \mathbb{Z}} \]

特例：当 \(C = 2\) 时，

\[\sin z = 2 \Rightarrow z = \frac{\pi}{2} + 2k\pi + i\ln\left(2 \pm \sqrt{3}\right), \quad k \in \mathbb{Z} \]

说明

这个问题的价值在于：

1. 展示了复变函数与实变函数的重要区别：在复数域中，三角函数的值域不再受限于 \([-1, 1]\)
2. 通过反复运用欧拉公式，熟练掌握复数与指数形式的相互转换
3. 理解复数方程求解中实部与虚部分离的方法论