控制理论(数学基础)学习笔记：2.泰勒一阶线性化、动态系统在平衡点附近的扰动分析
《高级控制理论——数学基础》学习笔记
2_线性化_泰勒级数_泰勒公式_Linearization
- 《【工程数学基础】2_线性化_泰勒级数_泰勒公式_Linearization》王天威（网名DR_CAN），博士
- 介绍一种通用的线性化方法，不仅限于控制理论方面的应用。
一、线性系统
对于一个线性系统，它应该符合叠加原理。
即对于系统 \(\dot{x}=f(x)\)，满足：
- \(x_1, x_2\) 是解
- \(x_3 = k_1x_1 + k_2x_2\) （其中 \(k_1, k_2\) 为常数）
- \(x_3\) 也是解
符合以上三点，就可以说系统是线性的。
示例
| 方程 | 是否为线性系统 | 原因 |
|---|---|---|
| \(\ddot{x} + 2\dot{x} + \sqrt{2}x = 0\) | ✅ 是 | 所有项都是线性的 |
| \(\ddot{x} + 2\dot{x} + \sqrt{2}x^2 = 0\) | ❌ 否 | 含有 \(x^2\) 平方项 |
| \(\ddot{x} + \sin(\dot{x}) + \sqrt{2}x = 0\) | ❌ 否 | 含有 \(\sin\) 非线性函数 |
二、线性化方法
2.1 泰勒级数基础
泰勒级数展开式：
\[f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
\]
其中 \(x_0\) 为展开点，泰勒级数在这一点附近展开。
2.2 一阶线性化原理
关键思想：当 \(x\) 非常接近 \(x_0\) 时（即 \(x - x_0 \to 0\)），高阶项 \((x-x_0)^n\) 非常小，可以忽略不计。
因此在 \(x_0\) 附近，泰勒级数简化为：
\[\boxed{f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)}
\]
这是泰勒展开的一阶近似。
2.3 线性化的几何意义
令其中的常数项 \(f(x_0) = k_1\)，\(f'(x_0) = k_2\)，则有：
\[\begin{aligned}
f(x) &= k_1 + k_2(x - x_0) \\
&= k_1 + k_2x - k_2x_0 \\
&= k_2x + (k_1 - k_2x_0) \\
&= k_2x + b
\end{aligned}
\]
其中 \(k_2 = \tan\theta\) 为斜率，\(b = k_1 - k_2x_0\) 为截距。
结论：通过泰勒一阶展开，将非线性函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 附近用直线 \(y = k_2x + b\) 近似。
2.4 单变量线性化示例：\(\sin x\)
问题：在 \(x_0 = 0\) 附近将 \(f(x) = \sin x\) 线性化。
求解：
\[\begin{aligned}
f(x) &= f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \\
\sin x &= \sin 0 + \cos 0 \cdot (x - 0) \\
&= 0 + 1 \cdot x \\
&= x
\end{aligned}
\]
因此，在 \(x = 0\) 附近，\(\sin x\) 的线性化形式为 \(\boxed{x}\)。
验证与误差分析
| \(x\) | \(\sin x\)（精确值） | 线性化 \(x\) | 相对误差 |
|---|---|---|---|
| \(\frac{\pi}{6} \approx 0.52\) | \(0.5\) | \(0.52\) | \(\frac{0.52-0.5}{0.5} \times 100\% = 4\%\) |
| \(\frac{\pi}{4} \approx 0.79\) | \(0.707\) | \(0.79\) | \(\frac{0.79-0.707}{0.707} \times 100\% \approx 11\%\) |
重要结论：
- 线性化是在某一点附近的局部近似，不是全局近似
- 越接近展开点，误差越小
- 误差来源：忽略了泰勒展开中的二阶及高阶项
三、微分方程的线性化
3.1 一阶系统线性化示例
问题：在平衡点附近线性化以下非线性微分方程
\[\ddot{x} + \dot{x} + \frac{1}{x} = 1
\]
步骤1：求平衡点
平衡点的定义：所有导数项为 0 的点。
\[\begin{aligned}
\ddot{x} &= 0, \quad \dot{x} = 0 \\
\Rightarrow \quad 0 + 0 + \frac{1}{x} &= 1 \\
\Rightarrow \quad x_0 &= 1
\end{aligned}
\]
因此平衡点为 \(x_0 = 1\)。
步骤2：引入小偏差变量
令 \(x = x_0 + x_d\)，其中 \(x_d\) 为小偏差量。
相应地：
\[\dot{x} = \dot{x}_0 + \dot{x}_d = \dot{x}_d \\
\ddot{x} = \ddot{x}_0 + \ddot{x}_d = \ddot{x}_d
\]
步骤3：对非线性项进行线性化
非线性项 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 在 \(x_0 = 1\) 附近展开：
\[\begin{aligned}
\frac{1}{x} &= f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \\
&= \frac{1}{x_0} + \left(\frac{1}{x}\right)' \Bigg|_{x=x_0} (x - x_0) \\
&= \frac{1}{x_0} - \frac{1}{x_0^2} \cdot x_d \\
&= 1 - x_d
\end{aligned}
\]
步骤4：代入原方程得到线性化方程
将各变量代入原方程：
\[\begin{aligned}
\ddot{x}_d + \dot{x}_d + (1 - x_d) &= 1 \\
\ddot{x}_d + \dot{x}_d - x_d &= 0
\end{aligned}
\]
上式即为非线性微分方程在平衡点附近的线性化方程。
3.2 多维系统线性化
一般形式
考虑二维非线性系统：
\[\begin{cases}
\dot{x}_1 = f_1(x_1, x_2) \\[6pt]
\dot{x}_2 = f_2(x_1, x_2)
\end{cases}
\]
步骤1：确定平衡点
平衡点 \((a, b)\) 满足 \(f_1(a, b) = 0\) 且 \(f_2(a, b) = 0\)。
步骤2：一阶泰勒展开
在平衡点处展开，得到：
\[\begin{cases}
\dot{x}_1 = f_1(a, b) + \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x_1 - a) + \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x_2 - b) \\[8pt]
\dot{x}_2 = f_2(a, b) + \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x_1 - a) + \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(x_2 - b)
\end{cases}
\]
写成矩阵形式：
\[\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} f_1(a, b) \\ f_2(a, b) \end{bmatrix}
+ \underbrace{\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2} \\[8pt]
\dfrac{\partial f_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_2}{\partial x_2}
\end{bmatrix}}_{\displaystyle \text{雅可比矩阵 } \mathbf{J}(a,b)}
\Bigg|_{x_1=a, x_2=b}
\begin{bmatrix} x_1 - a \\ x_2 - b \end{bmatrix}
\]
雅可比矩阵：多变量函数在某点的"导数"，是单变量函数 \(dy = f'(x_0)dx\) 的推广，只不过用偏导替代了导数。
步骤3：引入偏差变量并得到线性化方程
定义偏差变量（小增量）：
\[\begin{cases}
x_1 = a + x_{1d} \\[4pt]
x_2 = b + x_{2d}
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
x_1 - a = x_{1d} \\[4pt]
x_2 - b = x_{2d}
\end{cases}
\]
相应地，导数关系为：
\[\begin{cases}
\dot{x}_1 = \dot{x}_{1d} \\[4pt]
\dot{x}_2 = \dot{x}_{2d}
\end{cases}
\]
将偏差变量代入泰勒展开式，并利用平衡点条件 \(f_1(a, b) = f_2(a, b) = 0\)，消去常数项，得到线性化系统：
\[\boxed{\;
\begin{bmatrix}
\dot{x}_{1d} \\
\dot{x}_{2d}
\end{bmatrix}
=\mathbf{J}(a, b)
\begin{bmatrix}
x_{1d} \\
x_{2d}
\end{bmatrix}
\;}
\]
其中雅可比矩阵 \(\mathbf{J}(a, b)\) 为：
\[\mathbf{J}(a, b) =
\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2} \\[8pt]
\dfrac{\partial f_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_2}{\partial x_2}
\end{bmatrix} \Bigg|_{(x_1, x_2) = (a, b)}
\]
3.3 二阶系统状态空间线性化示例
问题：将以下二阶非线性方程在平衡点附近线性化
\[\ddot{x} + \dot{x} + \frac{1}{x} = 1
\]
步骤1：转换为一阶状态空间形式
引入状态变量 \(x_1 = x\)，\(x_2 = \dot{x}\)，则：
\[\mathbf{X} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ \dot{x} \end{bmatrix}
\]
转换为状态方程：
\[\begin{cases}
\dot{x}_1 = x_2 \\[6pt]
\dot{x}_2 = 1 - \dfrac{1}{x_1} - x_2
\end{cases}
\]
步骤2：求平衡点
根据平衡点的定义可得：\(\dot{x}_1 = 0\) 且 \(\dot{x}_2 = 0\)。
\[\begin{cases}
\dot{x}_1 = x_{20} = 0 \\[6pt]
\dot{x}_2 = 1 - \dfrac{1}{x_{10}} - x_{20} = 0
\end{cases}
\]
代入 \(x_{20} = 0\)：
\[1 - \dfrac{1}{x_{10}} = 0 \quad \Rightarrow \quad x_{10} = 1
\]
因此平衡点为 \((x_{10}, x_{20}) = (1, 0)\)。
步骤3：计算雅可比矩阵
雅可比矩阵的定义：
\[\mathbf{J}(x_1, x_2) =
\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2} \\[8pt]
\dfrac{\partial f_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_2}{\partial x_2}
\end{bmatrix}
\]
逐项计算偏导数：
对于 \(f_1(x_1, x_2) = x_2\)：
\[\begin{aligned}
\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} &= \dfrac{\partial}{\partial x_1}(x_2) = 0 \\[6pt]
\dfrac{\partial f_1}{\partial x_2} &= \dfrac{\partial}{\partial x_2}(x_2) = 1
\end{aligned}
\]
对于 \(f_2(x_1, x_2) = 1 - \dfrac{1}{x_1} - x_2\)：
\[\begin{aligned}
\dfrac{\partial f_2}{\partial x_1} &= \dfrac{\partial}{\partial x_1}\left(1 - \dfrac{1}{x_1} - x_2\right) = \dfrac{1}{x_1^2} \\[6pt]
\dfrac{\partial f_2}{\partial x_2} &= \dfrac{\partial}{\partial x_2}\left(1 - \dfrac{1}{x_1} - x_2\right) = -1
\end{aligned}
\]
因此雅可比矩阵为：
\[\mathbf{J}(x_1, x_2) = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\[6pt]
\dfrac{1}{x_1^2} & -1
\end{bmatrix}
\]
在平衡点 \((1, 0)\) 处：
\[\mathbf{J}(1, 0) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\]
步骤4：得到线性化方程
\[\boxed{\;
\begin{bmatrix} \dot{x}_{1d} \\ \dot{x}_{2d} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_{1d} \\ x_{2d} \end{bmatrix}
\;}
\]
其中 \(x_{1d} = x_1 - 1\)，\(x_{2d} = x_2\)。该方程即为非线性系统在平衡点 \((1, 0)\) 附近的线性化方程。
四、为什么微分方程线性化要引入偏差变量？
两种线性化场景的对比
| 场景 | 示例 | 目的 | 是否需要偏差变量 |
|---|---|---|---|
| 函数近似 | \(\sin x \approx x\) | 简化计算，方便分析 | ❌ 不需要 |
| 平衡点分析 | \(\ddot{x} + \dot{x} + \frac{1}{x} = 1\) | 分析系统受到小扰动后的稳定性 | ✅ 需要 |
偏差变量引入的逻辑
分析目标：研究系统在平衡点附近受到小扰动后的响应
平衡点 x₀ ────────► 小扰动 ────────► 演化行为
(稳定状态) x_d (稳定/不稳定？)
数学实现：
- 定义偏差：\(x_d = x - x_0\)（\(x_d\) 表示偏离平衡点的扰动量）
- 泰勒线性化：\(\frac{1}{x} = \frac{1}{x_0} - \frac{1}{x_0^2}x_d\)
- 消去常数项：平衡点处满足原方程，常数项自然消去
- 得到齐次线性方程：\(\ddot{x}_d + \dot{x}_d - x_d = 0\)
关键点
- 偏差变量 \(x_d\)：直接代表"扰动量"，其导数 \(\dot{x}_d, \ddot{x}_d\) 表示扰动的变化率
- 线性化方程：描述的是"扰动如何演化"，而非"绝对位置如何变化"
- 物理意义：通过分析 \(x_d\) 的解（衰减/发散/振荡）判断平衡点的稳定性
本质区别：函数线性化是"数学近似"，平衡点线性化是"稳定性分析"。偏差变量是稳定性分析的工具。
五、总结
| 要点 | 内容 |
|---|---|
| 函数线性化 | \(f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)\)，一阶泰勒展开 |
| 平衡点 | 所有导数项为 0 的点，\(f_1(x_0) = f_2(x_0) = 0\) |
| 偏差变量 | \(x_d = x - x_0\)，表示偏离平衡点的扰动量，用于稳定性分析 |
| 雅可比矩阵 | \(\mathbf{J}(x) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \end{bmatrix}\)，多变量系统的"导数" |
| 线性化方程 | \(\dot{x}_d = \mathbf{J}x_d\)，描述扰动在平衡点附近的演化 |
| 核心应用 | 通过分析 \(x_d\) 的解（衰减/发散）判断系统在平衡点附近的稳定性 |
| 两种场景 | 函数近似（数学计算）vs 平衡点分析（稳定性研究） |
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