《高级控制理论——数学基础》学习笔记
1_特征值与特征向量
《【工程数学基础】1_特征值与特征向量》王天威（网名DR_CAN），博士
1.1 概念和定义
在线性代数中，对于一个线性变换 A，如果存在非零向量 v，使得变换后的向量 Av 与原向量 v 保持在同一条直线上（仅长度改变，方向不变或反向），则称 v 为 A 的特征向量，对应的缩放比例为特征值 λ。
数学表达式为：
\[Av = \lambda v
\]
其中：A 为方阵，v 为非零向量，λ 为标量（特征值）。
直观理解：
通过两个例子对比理解：
案例 1：非特征向量
\[A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}, \quad v_1=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}
\]
\[Av_1 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
\(Av_1\) 的大小和方向都发生改变，故 \(v_1\) 不是特征向量。
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案例 2：特征向量
\[v_2=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
\]
\[Av_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} = 2\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 2v_2
\]
\(Av_2\) 方向不变，大小变为原来的 2 倍，故 \(v_2\) 是特征向量，λ = 2 是特征值。
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1.2 求解方法
1.2.1 理论推导
由定义 \(Av = \lambda v\) 出发：
\[\begin{aligned}
Av &= \lambda v \\
Av - \lambda v &= 0 \\
(A - \lambda I)v &= 0
\end{aligned}
\]
其中 I 为 n 阶单位矩阵。
要使上述齐次线性方程组有非零解，系数矩阵的行列式必须为零：
\[|A - \lambda I| = 0
\]
此方程称为特征方程，展开后是关于 λ 的多项式方程，其根即为特征值。
1.2.2 计算实例
给定矩阵：
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}
\]
步骤 1：求特征值
\[\begin{aligned}
|A - \lambda I| &= \left|\begin{bmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 4 & -2-\lambda \end{bmatrix}\right| = 0 \\
(1-\lambda)(-2-\lambda) - 4 &= 0 \\
\lambda^2 + \lambda - 6 &= 0 \\
(\lambda - 2)(\lambda + 3) &= 0
\end{aligned}
\]
解得：\(\lambda_1 = 2\)，\(\lambda_2 = -3\)
步骤 2：求特征向量
当 \(\lambda_1 = 2\) 时，代入 \((A - \lambda I)v = 0\)：
\[\begin{aligned}
(A - 2I)v_1 &= \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 4 & -4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_{11} \\ v_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
解得：\(-v_{11} + v_{12} = 0\)，即 \(v_{11} = v_{12}\)
取 \(v_{11} = 1\)，则特征向量为：
\[v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
\]
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当 \(\lambda_2 = -3\) 时：
\[\begin{aligned}
(A + 3I)v_2 &= \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_{21} \\ v_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
解得：\(4v_{21} + v_{22} = 0\)，即 \(v_{22} = -4v_{21}\)
取 \(v_{21} = 1\)，则特征向量为：
\[v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \end{bmatrix}
\]
总结：
|
特征值 |
特征向量 |
| 1 |
\(\lambda_1 = 2\) |
\(v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\) |
| 2 |
\(\lambda_2 = -3\) |
\(v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \end{bmatrix}\) |
1.3 对角化与解耦
1.3.1 对角化原理
设 \(P = [v_1, v_2]\) 为特征向量构成的矩阵（称为过渡矩阵或相似变换矩阵），其中 \(v_1\) 和 \(v_2\) 是矩阵 A 的两个线性无关的特征向量。
\[\begin{aligned}
AP &= A[v_1, v_2] = \begin{bmatrix} Av_1 & Av_2 \end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix} \lambda_1 v_1 & \lambda_2 v_2 \end{bmatrix} \quad \text{（利用 } Av_i = \lambda_i v_i \text{）} \\
&= \begin{bmatrix} v_{11} & v_{21} \\ v_{12} & v_{22} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix} \\
&= P \Lambda
\end{aligned}
\]
其中 \(\Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}\) 称为对角矩阵。
于是得到：
\[AP = P\Lambda
\]
两边左乘 \(P^{-1}\)：
\[P^{-1}AP = \Lambda
\]
这是一个核心结论：通过相似变换，将矩阵 A 对角化。
1.3.2 解微分方程组
考虑状态空间方程（控制理论中的常用形式）：
\[\begin{aligned}
\frac{d}{dt}x_1 &= x_1 + x_2 \\
\frac{d}{dt}x_2 &= 4x_1 - 2x_2
\end{aligned}
\]
写成矩阵形式：
\[\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}
\]
一般形式为：
\[\dot{x} = Ax
\]
求解过程：
令 \(x = Py\)，则 \(\dot{x} = P\dot{y}\)，代入重写原方程：
\[P\dot{y} = APy
\]
两边左乘 \(P^{-1}\)：
\[\dot{y} = P^{-1}APy = \Lambda y
\]
其中：
\[\Lambda = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}
\]
展开得到：
\[\begin{aligned}
\dot{y} &= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} \\
\dot{y}_1 &= 2y_1 + 0y_2 = 2y_1 \\
\dot{y}_2 &= 0y_1 - 3y_2 = -3y_2
\end{aligned}
\]
可以发现方程利用对角矩阵上的 \(0\) 实现了解耦，即:关于\(y_1\)和\(y_2\)的两个方程相互独立。
求解这两个独立的微分方程：
\[y_1 = c_1 e^{2t}, \quad y_2 = c_2 e^{-3t}
\]
最后通过 \(x = Py\) 求解原变量：
\[\begin{aligned}
x &= Py = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_1 e^{2t} \\ c_2 e^{-3t} \end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix} c_1 e^{2t} + c_2 e^{-3t} \\ c_1 e^{2t} - 4c_2 e^{-3t} \end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
工程意义： 在控制理论中，系统矩阵A的特征值的符号直接决定系统稳定性：
- 所有特征值实部为负 → 系统稳定（本例中特征值 λ₂ = -3 < 0，但 λ₁ = 2 > 0）
- 存在正实部特征值 → 系统不稳定
- 因此常通过特征值分析判断系统性质，无需求解完整方程
1.4 总结
| 要点 |
内容 |
| 定义 |
\(Av = \lambda v\)，变换后向量与原向量共线 |
| 求特征值 |
解特征方程 \(|A - \lambda I| = 0\) |
| 求特征向量 |
代入 \((A - \lambda_i I)v_i = 0\) 求解 |
| 对角化 |
\(P^{-1}AP = \Lambda\)，其中 P 为特征向量矩阵，Λ 为对角矩阵 |
| 核心应用 |
解耦微分方程组 \(\dot{x} = Ax\)，通过坐标变换得到 \(\dot{y} = \Lambda y\) |
| 工程意义 |
特征值的实部符号直接反映系统稳定性分析 |
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