P12007 【MX-X10-T3】[LSOT-4] 全国联赛？题解

一. 题面：点这里

二. 思路：

首先有一个比较常用的 trick 就是对于任意一颗带权树，对于题目中所求的两点对之间的距离和有如下公式：

\[Sum_{dis}=\sum_{e\in E}w(e)\times size_v\times(n-size_v) \]

这个公式应当是容易理解的，那么最后的贡献就可以这么算，但是现在有一个连边的问题。这和最优化问题有关，可以 dp 吗？好像不太现实，那我们考虑贪心。一步步来，首先你肯定会有一个疑问就是如果要连边，应当连到这个连通块的哪一个点呢。因为连通块本身的点对之间距离是确定的，考虑其他连通块连过来时造成的贡献，显然我们应当让这个连接点到这个连通块其他部分的距离和最小（很好证明）。关于距离和最小这个问题是经典的，可以其中一个解法是可以考虑换根dp 。解决这个问题之后，我们就要考虑我们分别连接哪些联通块是最优的呢。让我们回到算贡献的式子，那么我们应当是希望这个图是菊花图（假设我们把所有连通块内部的点缩成一个点之后），这样可以最小化每一个形如 \(x(n-x)\) 的乘积式。问题是菊花图的中心是什么呢。我们猜想是连通块大小最大的那一个，证明考虑反证法，假设调换最大块和某一块的值，一定不会使答案变小，手搓一个二次函数图像之后就会发现这个问题等价于证明：任意一个正整数 \(t\) 表示不是最大块的大小都有：

\[t\leq n-\max\{size\} \]

那么这是显然成立的（请读者自行思考，这是简单的。）
所以最后只需要以最大块向外连边即可，至于连边的顺序，考虑将边权大的连向乘积贡献小的连通块即可。

三. Code：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#define ll __int128 
inline int read() {
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch > '9' || ch < '0'){if(ch == '-'){f = -1;}ch = getchar();}
	while(ch >= '0'&&ch <= '9'){x = x * 10 + ch - 48; ch = getchar();}
	return x * f;
}

inline void write(ll x)
{
	if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + 48);
	return;
}
const int N = 1e6 + 5,MOD = 1e9 + 7;
int siz[N],a[N];
std::vector<std::pair<int,int> > G[N];

ll dfs(int u,int fa)
{
	siz[u] = 1;
	ll res = 0;
	for(auto now : G[u])
	{
		int v = now.first,w = now.second;
		if(v == fa) continue;
		res += dfs(v,u) + 1ll * siz[v] * w;
		siz[u] += siz[v];
	}
	return res;
}

ll tmp_res = 0,mn = 0;
void chgrt_dp(int u,int fa,ll mn_now,int now_siz)
{
	mn = std::min(mn,mn_now);
	tmp_res += mn_now;
	for(auto now : G[u])
	{
		int v = now.first,w = now.second;
		if(v == fa) continue;
		chgrt_dp(v,u,mn_now + 1ll * (now_siz - siz[v]) * w - 1ll * siz[v] * w,now_siz);
	}
}

bool cmp(int a,int b){return a > b;}
int main()
{
	int n,m;
	n = read(),m = read();
	for(int i = 1;i <= m;++i)
	{
		int u,v,w;
		u = read(),v = read(),w = read();
		G[u].push_back({v,w});
		G[v].push_back({u,w});
	}
	
	for(int i = 1;i <= n - m - 1;++i) a[i] = read();
	std::sort(a + 1,a + n - m);
	std::vector<int> p;
	ll ans = 0;
	for(int i = 1;i <= n;++i)
	{
		if(!siz[i])
		{
			mn = dfs(i,0);
			tmp_res = 0;
			chgrt_dp(i,0,mn,siz[i]);
			ans += tmp_res / 2 + 1ll * (n - siz[i]) * mn;
			p.push_back(siz[i]);
		}
	}
	std::sort(p.begin(),p.end(),cmp);
	
	for(int i = 1;i <= n - m - 1;++i) ans += 1ll * (n - p[i]) * p[i] * a[i];
	write(ans % MOD);
	return 0;
}