麻省理工-高等线性代数笔记3. 矩阵乘法和逆

3. 矩阵乘法和逆

• 矩阵乘法

  方法一：点乘(单个元素）-常规方法

  计算矩阵\(AB=C\),特别考虑\(C_{34}\)来自矩阵\(A\)的第三行和矩阵\(B\)的第四列。

  \(C_{34}\)的计算如下：

  

矩阵在什么情况下能够相乘？相乘后又是什么样子？

矩阵相乘不一定是方阵，方针相乘，大小必须相同，但是如果它们不是方阵，则大小不同。

比如矩阵\(A\)为\(m*n\)，那么想要矩阵\(A\)与矩阵\(B\)能够相乘，因此矩阵\(B\)必须是\(n*p\)的形式。

即，\(A\)的总列数必须与\(B\)的总行数相匹配，得到的结果j矩阵\(C\)为\(m*p\) 。

矩阵乘法方法二：考虑整列

用矩阵\(A\)分别与矩阵\(B\)的每一列进行计算，矩阵\(A\)乘以矩阵\(B\)列一得到矩阵\(C\)的第一列，同理，乘以矩阵\(B\)列二得到矩阵\(C\)的第二列......矩阵\(A\)乘以矩阵\(B\)列p得到矩阵\(C\)的第p列

(此方法，把矩阵\(B\)考虑为只是排在一起的p个单独的列向量，矩阵\(C\)的各列是矩阵\(A\)各列的线性组合，因为矩阵\(A\)乘以向量等价于\(A\)中列的线性组合 )

矩阵乘法方法三：考虑整行

此方法，把矩阵\(B\)考虑为只是排在一起的n个单独的行向量，矩阵\(C\)的各行是矩阵\(B\)各行的线性组合

矩阵乘法方法四：考虑列乘以行

用矩阵\(A\)的列乘以矩阵\(B\)的行，得到的是个完整的矩阵(\(m*p\))

则，矩阵\(AB\)等于\(A\)各列与\(B\)各行乘积之和

矩阵乘法方法五：分块乘法

假设矩阵\(A\)和矩阵\(B\)是同等大小的方阵，取矩阵\(A\)将其分块，也取矩阵\(B\)将其分块

• 逆

如果矩阵\(A\)可逆，那就存在某个矩阵，称为\(A\)的逆，\(A^{-1}A=I\)，矩阵\(A\)称为可逆的，或非奇异的。

逆是否存在是非常重要的问题

如果左乘某矩阵得到单位阵，那么把它放到右边相乘，同样是单位阵，即\(AA^{-1}=I\)

但如果是非方阵，左逆是不等于右逆的，因为形状不同，不能相乘；而对于方阵，只要\(A\)有逆，放哪边都行。

讨论奇异矩阵，没有逆的情况

考虑下面例子中矩阵不可逆的解释

从行列式考虑可知，这个矩阵的值为0，所以不可逆。

从上面的知识考虑，不可能找到一个矩阵，使得矩阵\(A\)乘以这个矩阵得到单位阵，因为它们相乘结果中的列都来自\(A\)中的列的线性组合，不可能得到单位矩阵。

总结，如果能够找到一个非零向量\(x\)使得\(Ax=0\)，那么这个\(A\)就不可逆，换句话说如果矩阵中某对列或者行线性成比例，那么这个矩阵就不可逆。

讨论非奇异矩阵，有逆的情况，求逆

已知矩阵\(A\),求\(A^{-1}\),如何求逆-用到“Gauss-Jordan"思想

Gauss-Jordan能够同时处理两个方程组，采用消元法，把左侧变为单位阵，那么右侧就是\(A^{-1}\)

Gauss-Jordan的原理：上图中的两次行加减，可以看作[\(A\) \(I\)]左乘了多个\(E_{ab}\),多个\(E_{ab}\)合起来看作一个\(E\)，由于经过行加减，左侧变成了\(I\)，即\(EA=I\),所以\(E=A^{-1}\),那么右侧\(EI=E=A^{-1}\)