CSP-S 考前 to-do list

• 复习：线性筛、ST 表、图论连通性、最短路板子、差分约束、树剖、KMP、Manacher、高斯消元、欧拉路径相关、笛卡尔树、平衡树、同余最短路.

• 学习：bitset、exgcd、各种数论神秘定理.

复习

学习

bitset

内部通过压位来大幅优化空间和位运算效率，常数为 \(O({1\over w})\)，通常 \(w=32\).

定义

• bitset<10000> b; 定义一个大小为 \(10000\) 的 bitset.

初始化

• bitset( )：全赋值为 \(\text{false}\).
• bitset(unsigned long val)：赋值为 \(val\) 的二进制表示.
• bitset(const string &str)：赋值为 0/1 串 \(str\).

运算符

bitset 支持 cin/cout 读写，可以用 [] 访问某一位.

bitset 之间支持所有正常位运算操作，包括二进制位移，以及判断是否相等.

常用成员函数

• size( )：返回大小.
• count( )：返回 \(\text{true}\) 的个数.
• any( )/none( )/all( )：存在/没有/全为 \(\text{true}\) 时返回 \(\text{true}\)，否则返回 \(\text{false}\).
• set( )/reset( )：全部设为 \(\text{true/false}\).
• to_string( )/to_ulong( )/to_ullong( )：转换为字符串/unsigned long/unsigned long long 表达.
• _Find_first( )/_Find_next(pos)：找第一个/下一个为 \(\text{true}\) 的位置，如果不存在则返回 size( ).

exgcd

用以快速求形如 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组整数解. 核心思路在于用欧几里得算法的等式 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\) 来推式子.

令 \((x_1,y_1)\) 为一组合法解，有：

\[ax_1+by_1=\gcd(a,b) \]

令 \(a'\leftarrow b,b'\leftarrow a\bmod b\)，设 \(x_1\leftarrow x_2,y_1\leftarrow y_2\)，有：

\[bx_2+(a\bmod b)y_2=\gcd(b,a\bmod b) \]

\[bx_2+(a-\lfloor{a\over b}\rfloor\times b)y_2=\gcd(b,a\bmod b) \]

\[ay_2+b(x_2-\lfloor{a\over b}\rfloor y_2)=\gcd(b,a\bmod b) \]

即有 \(x'\leftarrow y,y'\leftarrow x-\lfloor{a\over b}\rfloor y\).

递归边界为 \(b=0\)，此时赋值 \(x=1,y=0\) 可以递归反解出一组 \((x,y)\). 可以证明，结果满足 \(x\le |b|,y\le|a|\).