树形 DP 选做

P8867 [NOIP2022] 建造军营

Hint：边双缩点；DP 不好转移则考虑更强的限制.

非常厉害的计数题.

先考虑如果一个子图如果删去任意一条边都不会影响连通性，那么这个子图就可以随便建造军营与看守道路，方案数是容易计算的. 于是边双缩点，无向图变成一棵树.

考虑树上 DP. 朴素的思路是设 \(f_{u,0/1}\) 表示在 \(u\) 子树内建或不建军营的方案数，但是发现这样分类讨论情况很多，并且算重了很多东西. 考虑钦定所有建造了军营的点都沿着看守的道路与 \(u\) 联通. 这下转移就变得很明朗了：

\[f_{u,0}=f_{u,0} \times 2f_{v,0} \]

\[f_{u,1}=f_{u,1} \times (2f_{v,0}+f_{v, 1})+f_{u,0} \times f_{v,1} \]

系数是看守/不看守缩点后树上的道路.

考虑 \(f_u\) 初值，设缩点后边双联通分量内点数为 \(v_u\)，边数为 \(e_u\)，有：

\[f_{u,0}=2^{e_u} \]

\[f_{u,1}=2^{e_u}\times(2^{v_u}-1) \]

最后考虑统计答案. 由于限制加强了，最后答案的统计就要更加细致. 一个重要的观察是对于 \(f_{u,0/1}\)，如果子树外所有道路随便看不看守，\((u,fa_u)\) 这条道路在统计 \(f_{fa_u,0/1}\) 时可能算重，因为转移钦定也可能看守这条道路；如果钦定不选父亲这条边，方案数就不重不漏. 记子树中边数之和为 \(sum_u\)，答案即：

\[ans=f_{1,1}+\sum_{u=2}^n2^{sum_1-sum_u-1}\times f_{u,1} \]

P11363 [NOIP2024] 树的遍历

不会换根 DP，咕咕咕

CF1060F Shrinking Tree

Hint：考虑在状态中钦定从哪条边开始有贡献.

考虑点 \(rt\) 为根时的答案，容易发现只有删与 \(rt\) 相连的几条边时会对答案产生影响，删其余边不会产生影响. 而当某个儿子 \(v\) 合并到 \(rt\) 后，原来 \(v\) 的几个儿子与 \(rt\) 合并时就必须保留 \(rt\)，会对 \(rt\) 答案产生影响. 对一般的情况，决定转移至关重要的一个状态是 \(u\) 的儿子 \(v\) 是否合并到 \(u\)，以及 \(u\) 是否合并到 \(fa_u\)，我们将在设计状态时着重考察这两点.

考虑设 \(f_{u,i}\) 表示只考虑子树 \(u\)，钦定子树内删去了 \(i\) 条边之后，删去 \(i+1\) 条边之前 \(u\) 的答案开始被儿子影响；为了方便，记 \(g_{u,i}\) 表示子树 \(u\) 并上 \((u,fa_u)\) 这条边后的答案.

我们想要把 \(g_{v,j}\) 的答案合并到子树 \(u\)，若当前子树 \(u\) 的答案为 \(f_{u,i}\)，由于两者删边边集不交，未删边边集也不交，